Encontre a expressão cujo desenvolvimento logaritmo é:
(a) \frac{2}{9}(30 \log a-5 \log b+n \log b-(2-n) \log c)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a expressão cujo desenvolvimento logaritmo é” e nos dá a expressão
\frac{2}{9}\bigl(30\log a -5\log b + n\log b - (2-n)\log c\bigr).
Informações relevantes dadas:
\text{a expressão a ser invertida é } \frac{2}{9}\bigl(30\log a -5\log b + n\log b - (2-n)\log c\bigr).ãé
Objetivo: encontrar a expressão X tal que \log X seja exatamente a expressão acima.

Passo 2

Primeiro simplifico os termos dentro dos parênteses, juntando os termos em \log b e simplificando o sinal em -(2-n)\log c.
-5\log b + n\log b = (n-5)\log b,
-(2-n)\log c = (-2+n)\log c = (n-2)\log c.
Logo o interior fica
30\log a + (n-5)\log b + (n-2)\log c.

Passo 3

Reescrevo a expressão inteira com essa simplificação:
\frac{2}{9}\bigl(30\log a + (n-5)\log b + (n-2)\log c\bigr).
Agora uso uma propriedade básica de logaritmos: para qualquer número real k e qualquer x>0,
k\log x = \log\bigl(x^{k}\bigr).
Isto permite transformar coeficientes multiplicativos de logs em expoentes.

Passo 4

Aplico k\log x = \log(x^k) a cada termo dentro dos parênteses (antes de multiplicar pelo \tfrac{2}{9}) e depois aplico o fator \tfrac{2}{9} aos expoentes. Primeiro escrevo cada termo como log de potência:
30\log a = \log\bigl(a^{30}\bigr),\qquad (n-5)\log b = \log\bigl(b^{\,n-5}\bigr),\qquad (n-2)\log c = \log\bigl(c^{\,n-2}\bigr).

Passo 5

Soma de logaritmos vira logaritmo do produto. Assim, antes de aplicar \tfrac{2}{9} global, temos
30\log a + (n-5)\log b + (n-2)\log c = \log\bigl(a^{30}\bigr) + \log\bigl(b^{\,n-5}\bigr) + \log\bigl(c^{\,n-2}\bigr)
= \log\bigl(a^{30} b^{\,n-5} c^{\,n-2}\bigr).
Agora a expressão original é
\frac{2}{9}\log\bigl(a^{30} b^{\,n-5} c^{\,n-2}\bigr).

Passo 6

Uso a propriedade k\log Y = \log(Y^{k}) para o fator \tfrac{2}{9}. Assim
\frac{2}{9}\log\bigl(a^{30} b^{\,n-5} c^{\,n-2}\bigr) = \log\Bigl(\bigl(a^{30} b^{\,n-5} c^{\,n-2}\bigr)^{\frac{2}{9}}\Bigr).
Distribuindo o expoente \tfrac{2}{9} sobre o produto (propriedade de potências), obtemos
\log\Bigl(a^{\frac{60}{9}}\, b^{\frac{2(n-5)}{9}}\, c^{\frac{2(n-2)}{9}}\Bigr).
Simplifico \tfrac{60}{9}=\tfrac{20}{3}. Então
\log\Bigl(a^{\frac{20}{3}}\, b^{\frac{2(n-5)}{9}}\, c^{\frac{2(n-2)}{9}}\Bigr).

Passo 7

Concluo que a expressão cujo logaritmo é a dada é o argumento do log que encontramos. Posso também reescrever a^{\frac{20}{3}} como \sqrt[3]{a^{20}} se quiser forma com raiz, mas a forma com potências fracionárias já é suficiente.

Resposta

\displaystyle a^{\frac{20}{3}}\, b^{\frac{2(n-5)}{9}}\, c^{\frac{2(n-2)}{9}}

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