Capacidade: Dimensionar os principais elementos construtivos de sistemas mecânicos e máquinas, analisando as funções dos Elementos de Máquinas em sistemas mecânicos.
Um projeto de pino de cisalhamento exige que o parafuso suporte uma força de cisalhamento máxima de Fcis =45 \mathrm{kN}. O material do parafuso selecionado deve ter uma tensão admissível ao cisalhamento (θadm) de 200 MPa para garantir um fator de segurança adequado. A tensão de cisalhamento é calculada pela fórmula \theta=F / A, onde A é a área de cisalhamento, e, para um parafuso sujeito a cisalhamento em seção simples, a área é \mathrm{A}=\mathrm{pi} . \mathrm{d}^{2} / 4.
Contexto: Para evitar a falha por ciśalhamento, a área de cisalhamento (\mathrm{A}) deve ser dimensionada de forma que a tensão real (\theta) não ultrapasse a tensão admissível (θadm). Ou seja A > Fcis / θadm.
O dimensionartento visa encontrar o diâmetro mínimo (dmin) para o parafuso.
Comando: Calcule o diâmetro mínimo nominal (dmin) do parafuso, em (mm), que é necessário para suportar a força de cisalhamento, de modo que a tensão de cisalhamento não exceda a tensão admissível de 200 MPa .
Alternativas:
A) O diâmetro mínimo (dmin) é aproximadamente ø15.1 mm.
B) O diâmetro mínimo dmin é aproximadamente \varnothing 24.8 \mathrm{~mm}.
C) O diâmetro mínimo dmin é aproximadamente \varnothing 16.9 \mathrm{~mm}.
D) O diâmetro mínimo dmin é aproximadamente \varnothing 10.7 \mathrm{~mm}.
E) O diâmetro mínimo dmin é aproximadamente \varnothing 12.5 \mathrm{~mm}.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o diâmetro mínimo nominal do parafuso de forma que a tensão de cisalhamento não exceda a tensão admissível. Dados fornecidos:
Força de cisalhamento máxima: \displaystyle F_{\text{cis}}=45\\ \mathrm{kN}.
Tensão admissível ao cisalhamento: \displaystyle \theta_{\text{adm}}=200\\ \mathrm{MPa}.
Relação tensão = força / área: \displaystyle \theta=\dfrac{F}{A}.
Para cisalhamento em seção simples de um parafuso (seção circular): \displaystyle A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
O objetivo: determinar o diâmetro mínimo nominal \displaystyle d_{\min} (em \mathrm{mm}) tal que a tensão real não ultrapasse \displaystyle \theta_{\text{adm}}.
Passo 2
Entendendo as fórmulas e as unidades (aula rápida e prática).
A tensão de cisalhamento \displaystyle \theta é a força dividida pela área que suporta essa força. Aqui a unidade de \displaystyle \theta é \mathrm{N/m^{2}} (Pascal, \mathrm{Pa}), então devemos usar \mathrm{N} para força e \mathrm{m^{2}} para área.
Para um círculo de diâmetro \displaystyle d, a área é \displaystyle A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. Aqui \displaystyle d deve estar em metros se queremos A em \mathrm{m^{2}}.
Converter as grandezas dadas para unidades compatíveis:\displaystyle F_{\text{cis}}=45\\ \mathrm{kN}=45\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}
Como \displaystyle \theta=\dfrac{F_{\text{cis}}}{A}, isso implica\displaystyle \frac{F_{\text{cis}}}{A} \le \theta_{\text{adm}} \quad\Rightarrow\quad A \ge \frac{F_{\text{cis}}}{\theta_{\text{adm}}}.
Para obter o diâmetro mínimo, igualamos (caso limite):\displaystyle A = \frac{F_{\text{cis}}}{\theta_{\text{adm}}}.
\displaystyle d = \sqrt{\frac{4F_{\text{cis}}}{\pi\,\theta_{\text{adm}}}}.
Explicação: multiplicamos ambos os lados por 4/\pi e depois aplicamos raiz quadrada. Essa fórmula dá o diâmetro que produz exatamente a tensão admissível; qualquer diâmetro maior que esse garante segurança.
Passo 5
Agora vamos substituir os valores numéricos (mantendo unidades em SI):
\displaystyle d = \sqrt{\frac{4\cdot\left(45\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}\right)}{\pi\cdot\left(200\cdot10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}\right)}}.
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente para ficar claro:
\displaystyle d \approx \sqrt{2{,}864788\times10^{-4}}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}6921\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros (1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}):
\displaystyle d \approx 1{,}6921\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=16{,}921\\ \mathrm{mm}\approx 16{,}9\\ \mathrm{mm}.
Passo 7
Interpretação e checagem rápida:
Com \displaystyle d\approx16{,}9\\ \mathrm{mm}, a área é \displaystyle A=\dfrac{\pi d^{2}}{4} e a tensão resultante \displaystyle \theta=F_{\text{cis}}/A será aproximadamente \displaystyle 200\\ \mathrm{MPa}, ou seja, o projeto fica no limite admissível. Para segurança prática costuma-se escolher um diâmetro comercial maior se necessário, mas o cálculo teórico do mínimo é esse.