Capacidade: Dimensionar os principais elementos construtivos de sistemas mecânicos e máquinas, analisando as funções dos Elementos de Máquinas em sistemas mecânicos.
Um projeto de pino de cisalhamento exige que o parafuso suporte uma força de cisalhamento máxima de Fcis =45 \mathrm{kN}. O material do parafuso selecionado deve ter uma tensão admissível ao cisalhamento (θadm) de 200 MPa para garantir um fator de segurança adequado. A tensão de cisalhamento é calculada pela fórmula \theta=F / A, onde A é a área de cisalhamento, e, para um parafuso sujeito a cisalhamento em seção simples, a área é \mathrm{A}=\mathrm{pi} . \mathrm{d}^{2} / 4.
Contexto: Para evitar a falha por ciśalhamento, a área de cisalhamento (\mathrm{A}) deve ser dimensionada de forma que a tensão real (\theta) não ultrapasse a tensão admissível (θadm). Ou seja A > Fcis / θadm.
O dimensionartento visa encontrar o diâmetro mínimo (dmin) para o parafuso.
Comando: Calcule o diâmetro mínimo nominal (dmin) do parafuso, em (mm), que é necessário para suportar a força de cisalhamento, de modo que a tensão de cisalhamento não exceda a tensão admissível de 200 MPa .

Alternativas:

A) O diâmetro mínimo (dmin) é aproximadamente ø15.1 mm.
B) O diâmetro mínimo dmin é aproximadamente \varnothing 24.8 \mathrm{~mm}.
C) O diâmetro mínimo dmin é aproximadamente \varnothing 16.9 \mathrm{~mm}.
D) O diâmetro mínimo dmin é aproximadamente \varnothing 10.7 \mathrm{~mm}.
E) O diâmetro mínimo dmin é aproximadamente \varnothing 12.5 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o diâmetro mínimo nominal do parafuso de forma que a tensão de cisalhamento não exceda a tensão admissível. Dados fornecidos:
  • Força de cisalhamento máxima: \displaystyle F_{\text{cis}}=45\\ \mathrm{kN}.
  • Tensão admissível ao cisalhamento: \displaystyle \theta_{\text{adm}}=200\\ \mathrm{MPa}.
  • Relação tensão = força / área: \displaystyle \theta=\dfrac{F}{A}.
  • Para cisalhamento em seção simples de um parafuso (seção circular): \displaystyle A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
    O objetivo: determinar o diâmetro mínimo nominal \displaystyle d_{\min} (em \mathrm{mm}) tal que a tensão real não ultrapasse \displaystyle \theta_{\text{adm}}.

Passo 2

Entendendo as fórmulas e as unidades (aula rápida e prática).
  • A tensão de cisalhamento \displaystyle \theta é a força dividida pela área que suporta essa força. Aqui a unidade de \displaystyle \theta é \mathrm{N/m^{2}} (Pascal, \mathrm{Pa}), então devemos usar \mathrm{N} para força e \mathrm{m^{2}} para área.
  • Para um círculo de diâmetro \displaystyle d, a área é \displaystyle A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. Aqui \displaystyle d deve estar em metros se queremos A em \mathrm{m^{2}}.
  • Converter as grandezas dadas para unidades compatíveis: \displaystyle F_{\text{cis}}=45\\ \mathrm{kN}=45\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}
\displaystyle \theta_{\text{adm}}=200\\ \mathrm{MPa}=200\cdot10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}

Passo 3

Condição de projeto para evitar falha:
  • Queremos \displaystyle \theta \le \theta_{\text{adm}}.
  • Como \displaystyle \theta=\dfrac{F_{\text{cis}}}{A}, isso implica \displaystyle \frac{F_{\text{cis}}}{A} \le \theta_{\text{adm}} \quad\Rightarrow\quad A \ge \frac{F_{\text{cis}}}{\theta_{\text{adm}}}.
  • Para obter o diâmetro mínimo, igualamos (caso limite): \displaystyle A = \frac{F_{\text{cis}}}{\theta_{\text{adm}}}.

Passo 4

Substituindo a expressão da área circular:
\displaystyle \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{F_{\text{cis}}}{\theta_{\text{adm}}}.
Isolando \displaystyle d:
\displaystyle d = \sqrt{\frac{4F_{\text{cis}}}{\pi\,\theta_{\text{adm}}}}.
Explicação: multiplicamos ambos os lados por 4/\pi e depois aplicamos raiz quadrada. Essa fórmula dá o diâmetro que produz exatamente a tensão admissível; qualquer diâmetro maior que esse garante segurança.

Passo 5

Agora vamos substituir os valores numéricos (mantendo unidades em SI):
\displaystyle d = \sqrt{\frac{4\cdot\left(45\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}\right)}{\pi\cdot\left(200\cdot10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}\right)}}.
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente para ficar claro:
\displaystyle 4\cdot\left(45\cdot10^{3}\right)=180\cdot10^{3}=1,80\cdot10^{5}.
\displaystyle \pi\cdot\left(200\cdot10^{6}\right)=200\pi\cdot10^{6}\approx 628{,}3185307\cdot10^{6}=6,283185307\cdot10^{8}.
Portanto a razão (dentro da raiz) é
\displaystyle \frac{4F_{\text{cis}}}{\pi\theta_{\text{adm}}}\approx \frac{1{,}80\cdot10^{5}}{6{,}283185307\cdot10^{8}}\approx 2{,}864788\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Tomando a raiz quadrada:
\displaystyle d \approx \sqrt{2{,}864788\times10^{-4}}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}6921\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros ( 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}):
\displaystyle d \approx 1{,}6921\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=16{,}921\\ \mathrm{mm}\approx 16{,}9\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida:
  • Com \displaystyle d\approx16{,}9\\ \mathrm{mm}, a área é \displaystyle A=\dfrac{\pi d^{2}}{4} e a tensão resultante \displaystyle \theta=F_{\text{cis}}/A será aproximadamente \displaystyle 200\\ \mathrm{MPa}, ou seja, o projeto fica no limite admissível. Para segurança prática costuma-se escolher um diâmetro comercial maior se necessário, mas o cálculo teórico do mínimo é esse.

Resposta

\varnothing 16{,}9\\ \mathrm{mm}

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