Encontre as seguintes integrais usando integrais imediatas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A integranda é a soma de duas parcelas:
e . - Trata-se de uma integral indefinida (ou seja, devemos encontrar uma primitiva/antiderivada) e incluir a constante de integração
. - Não há outras condições (como limites); só queremos a família de primitivas.
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral de soma é a soma das integrais. Então escrevemos
Essa propriedade vale para integrais indefinidas e facilita separar termos que conhecemos como imediatos.
Passo 3
Aplicamos a propriedade do fator constante: um fator numérico pode sair da integral. Assim,
Explicação rápida:
para qualquer constante real
.
Passo 4
Recordando a primitiva imediata do exponencial: a derivada de
é
, portanto uma primitiva de
é ela mesma. Logo
Substituindo no passo anterior (e lembrando que podemos juntar constantes depois),
(obs.: o
ficará combinado com a constante final
.)
Passo 5
Agora integramos
. Usamos a regra do “expoente” (regra da potência) para integrais imediatas:
Aqui
. Aplicando a fórmula obtemos
Podemos verificar rapidamente: derivando
obtemos
, então está correto.
Passo 6
Somando os resultados das duas integrais (e juntando as constantes
e
numa única
), temos
Passo 7
Checagem rápida por diferenciação: derivando
obtemos
que é a integranda original. Tudo consistente — pronto!