Encontre as seguintes integrais usando integrais imediatas
\int\left(3 e^{x}+x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(3 e^{x}+x^{3}\right) d x.
Informações dadas:
  • A integranda é a soma de duas parcelas: \,3 e^{x}\, e \,x^{3}\,.
  • Trata-se de uma integral indefinida (ou seja, devemos encontrar uma primitiva/antiderivada) e incluir a constante de integração C.
  • Não há outras condições (como limites); só queremos a família de primitivas.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral de soma é a soma das integrais. Então escrevemos
\int\left(3 e^{x}+x^{3}\right) dx = \int 3 e^{x}\,dx + \int x^{3}\,dx.
Essa propriedade vale para integrais indefinidas e facilita separar termos que conhecemos como imediatos.

Passo 3

Aplicamos a propriedade do fator constante: um fator numérico pode sair da integral. Assim,
\int 3 e^{x}\,dx = 3\int e^{x}\,dx.
Explicação rápida: \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx para qualquer constante real a.

Passo 4

Recordando a primitiva imediata do exponencial: a derivada de e^{x} é e^{x}, portanto uma primitiva de e^{x} é ela mesma. Logo
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_1.
Substituindo no passo anterior (e lembrando que podemos juntar constantes depois),
\int 3 e^{x}\,dx = 3 e^{x}.
(obs.: o +C_1 ficará combinado com a constante final C.)

Passo 5

Agora integramos \,x^{3}\,. Usamos a regra do “expoente” (regra da potência) para integrais imediatas:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad\text{para } n\neq -1.
Aqui n=3. Aplicando a fórmula obtemos
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_2 = \frac{x^{4}}{4}.
Podemos verificar rapidamente: derivando \frac{x^{4}}{4} obtemos x^{3}, então está correto.

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais (e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única C), temos
\int\left(3 e^{x}+x^{3}\right) dx = 3 e^{x} + \frac{x^{4}}{4} + C.

Passo 7

Checagem rápida por diferenciação: derivando 3 e^{x} + \frac{x^{4}}{4} + C obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(3 e^{x} + \frac{x^{4}}{4} + C\right) = 3 e^{x} + x^{3},
que é a integranda original. Tudo consistente — pronto!

Resposta

\;3 e^{x}+\dfrac{x^{4}}{4}+C

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