Encontre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}.
  • O limite é tomado quando x se aproxima de 2 pela direita (ou seja, x>2 e x\to2).
  • Note que o numerador está definido para |x|\ge 1, então em torno de x=2 não há problema de domínio.
  • O denominador é x-2, que é 0 em x=2; portanto esperamos uma situação do tipo “finito dividido por algo que tende a zero” (mas precisamos ver o sinal e o comportamento preciso).

Passo 2

Calculemos o limite do numerador separadamente. Como a função x\mapsto \sqrt{x^{2}-1} é contínua no ponto x=2 (pois 2^{2}-1=3>0), temos
\lim_{x\to 2}\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3}.
Portanto o numerador tende para \sqrt{3}, que é um número positivo e diferente de zero.

Passo 3

Analise o sinal do denominador ao aproximar-se de 2 pela direita. Para x>2 temos
x-2>0,
ou seja, ao nos aproximarmos de 2 por valores maiores, o denominador tende para 0 por valores positivos (tende para 0^{+}).

Passo 4

Conclusão heurística: o numerador tende para um número positivo finito ( \sqrt{3}) e o denominador tende para 0^{+}. Quando dividimos um número positivo não nulo por algo que tende a zero pela direita, o quociente tende a +\infty. Logo o limite deve ser +\infty. Vamos tornar essa conclusão um pouco mais rigorosa com uma desigualdade simples.

Passo 5

Para tornar a divergência explícita, use a desigualdade válida para todo x>2:
x^{2}-1>4-1=3 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^{2}-1}>\sqrt{3}.
Assim, para x>2 obtemos
\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}>\frac{\sqrt{3}}{x-2}.
Dado qualquer M>0, escolha \delta=\min\!\left(1,\frac{\sqrt{3}}{M}\right). Se 0<x-2<\delta então x>2 e
\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}>\frac{\sqrt{3}}{x-2}>\frac{\sqrt{3}}{\delta}\ge M.
Isso mostra a definição formal: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x-2<\delta, então \dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x-2}>M. Logo o limite é +\infty.

Passo 6

Resumo intuitivo e motivador: o numerador não se anula em x=2 (ele vale \sqrt{3}), enquanto o denominador vai a zero positivo; portanto a fração cresce sem limite quando x se aproxima de 2 pela direita. Você já está dominando o raciocínio padrão para limites desse tipo!

Resposta

+\infty

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