Encontre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O limite é tomado quando
se aproxima de pela direita (ou seja, e ). - Note que o numerador está definido para
, então em torno de não há problema de domínio. - O denominador é
, que é em ; portanto esperamos uma situação do tipo “finito dividido por algo que tende a zero” (mas precisamos ver o sinal e o comportamento preciso).
Passo 2
Calculemos o limite do numerador separadamente. Como a função
é contínua no ponto
(pois
), temos
Portanto o numerador tende para
, que é um número positivo e diferente de zero.
Passo 3
Analise o sinal do denominador ao aproximar-se de
pela direita. Para
temos
ou seja, ao nos aproximarmos de
por valores maiores, o denominador tende para
por valores positivos (tende para
).
Passo 4
Conclusão heurística: o numerador tende para um número positivo finito (
) e o denominador tende para
. Quando dividimos um número positivo não nulo por algo que tende a zero pela direita, o quociente tende a
. Logo o limite deve ser
. Vamos tornar essa conclusão um pouco mais rigorosa com uma desigualdade simples.
Passo 5
Para tornar a divergência explícita, use a desigualdade válida para todo
:
Assim, para
obtemos
Dado qualquer
, escolha
. Se
então
e
Isso mostra a definição formal: para todo
existe
tal que, se
, então
. Logo o limite é
.
Passo 6
Resumo intuitivo e motivador: o numerador não se anula em
(ele vale
), enquanto o denominador vai a zero positivo; portanto a fração cresce sem limite quando
se aproxima de
pela direita. Você já está dominando o raciocínio padrão para limites desse tipo!