Esboce o gráfico da função modular definida por f(x)=\left|4 x^{2}+8 x-5\right| :

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar (desenhar) o gráfico da função f(x)=\left|4x^{2}+8x-5\right|.\n
Informações dadas:
  • A função dentro do módulo é g(x)=4x^{2}+8x-5.
  • Queremos o gráfico de f(x)=|g(x)|, ou seja, pegar o gráfico de g e aplicar o módulo (transformação que deixa valores negativos positivos).
  • Nenhum outro dado é exigido.

Passo 2

Entender o polinômio quadrático g(x)=4x^{2}+8x-5: vamos achar as raízes (zeros), porque elas são pontos importantes para f.\n
Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = 8^{2}-4\cdot 4\cdot(-5) = 64 + 80 = 144.
As raízes são
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8\pm 12}{2\cdot 4} = \frac{-8\pm 12}{8}.
Portanto as raízes são
x_{1}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\qquad x_{2}=\frac{-20}{8}=-\frac{5}{2}.
Estas são as intersecções do polinômio com o eixo x; em f serão pontos onde o valor é 0.

Passo 3

Achar o vértice da parábola g. A abscissa do vértice é
x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot 4}=-1.
O valor em x=-1 é
g(-1)=4(-1)^{2}+8(-1)-5=4-8-5=-9.
Logo o vértice de g é (-1,-9). Como a=4>0, a parábola de g abre para cima.

Passo 4

Interpretar o efeito do módulo: f(x)=|g(x)| mantém as partes onde g(x)\ge 0 inalteradas e reflete (em relação ao eixo x) as partes onde g(x)<0. Portanto:
  • Para x\le -\tfrac{5}{2} e para x\ge \tfrac{1}{2} temos g(x)\ge 0 e então f(x)=g(x).
  • Para -\tfrac{5}{2}\le x\le \tfrac{1}{2} temos g(x)\le 0 e então f(x)=-g(x) (reflexão vertical).

Passo 5

Escrever f\) de forma piecewise (importante para esboçar):\n \[f(x)=\begin{cases} 4x^{2}+8x-5, & x\le -\dfrac{5}{2},\\[6pt] -(4x^{2}+8x-5) = -4x^{2}-8x+5, & -\dfrac{5}{2}\le x\le \dfrac{1}{2},\\[6pt] 4x^{2}+8x-5, & x\ge \dfrac{1}{2}. \end{cases}
Observação: em x=-\tfrac{5}{2}\] e em \(x=\tfrac{1}{2} ambas as expressões concordam em 0.]

Passo 6

Calcular pontos-chave para desenhar:
  • Zeros (tirados do Passo 2): \left(-\dfrac{5}{2},0\right) e \left(\dfrac{1}{2},0\right).
  • Vértice de g era (-1,-9); como essa parte fica negativa, no gráfico de f esse ponto vira (-1,9) (reflexão).
  • Interseção com eixo y: g(0)=-5 então f(0)=5, ponto (0,5).
  • Alguns valores simétricos úteis (mostram simetria em torno de x=-1): g(1)=7 \Rightarrow f(1)=7,\qquad g(-3)=7 \Rightarrow f(-3)=7.
g(-2)=-5 \Rightarrow f(-2)=5.

Passo 7

Forma geométrica do esboço e simetria:
  • Fora do intervalo \left[-\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}\right] o gráfico é a parábola original g (aberta para cima).
  • Dentro do intervalo \left[-\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}\right] o gráfico é a parábola -g, que abre para baixo e tem vértice em (-1,9) e zeros nas extremidades do intervalo.
  • A função g tem eixo de simetria x=-1; como aplicamos o módulo (que é simétrico em y), f também será simétrica em relação a x=-1.

Passo 8

Comportamento nas extremidades e continuidade/diferenciabilidade:
  • Para |x|\to\infty, f(x)\sim 4x^{2} (comportamento parabólico para cima).
  • f é contínua em todo \mathbb{R} (módulo de função contínua).
  • Nos pontos \\ x=-\tfrac{5}{2} e x=\tfrac{1}{2} ocorrem “vértices” (cantos): a derivada lateral troca de sinal porque g'(x)=8x+8 e em cada raiz g'(x)\neq 0. Por exemplo, g'\!\left(-\tfrac{5}{2}\right)=-12,\quad g'\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=12,e a derivada de f salta de -12 para 12 (ou de 12 para -12) nesses pontos — logo f não é diferenciável nesses dois pontos.

Passo 9

Como esboçar na prática (passo a passo para você desenhar numa folha):
  1. Marque os zeros \left(-\tfrac{5}{2},0\right) e \left(\tfrac{1}{2},0\right).
  2. Marque o vértice superior central (-1,9).
  3. Marque pontos adicionais: (0,5), (-2,5), (1,7), (-3,7).
  4. Para x\le -\tfrac{5}{2} e x\ge \tfrac{1}{2} desenhe a parábola 4x^{2}+8x-5 (ramificações para cima).
  5. Para -\tfrac{5}{2}\le x\le \tfrac{1}{2} desenhe a parábola -4x^{2}-8x+5 (abertura para baixo) unindo suavemente nos zeros, formando um “chapéu” voltado para cima no centro.
  6. Lembre-se de que há cantos em -\tfrac{5}{2} e \tfrac{1}{2}: as curvas se encontram com mudança de inclinação.

Resposta

f(x)=\begin{cases} 4x^{2}+8x-5, & x\le -\dfrac{5}{2},\\[6pt] -4x^{2}-8x+5, & -\dfrac{5}{2}\le x\le \dfrac{1}{2},\\[6pt] 4x^{2}+8x-5, & x\ge \dfrac{1}{2}. \end{cases}
Pontos-chave: \left(-\dfrac{5}{2},0\right),\\ \left(\dfrac{1}{2},0\right),\\ (-1,9),\\ (0,5),\\ (-2,5),\\ (1,7),\\ (-3,7).]

Exercícios relacionados