Questão 3 - (2 pontos) - Defina os limites de integração para a área hachurada, na integral dada,
\int|x+y| d x d y

Passo 1

O enunciado pede que eu “defina os limites de integração para a área hachurada” na integral
\iint |x+y|\,dx\,dy.
Informações fornecidas no enunciado:
\iint |x+y|\,dx\,dy
e a indicação de que existe uma “área hachurada” (isto é, uma região do plano) sobre a qual integrar.
Informação que falta (necessária para definir limites): a figura com a área hachurada ou, alternativamente, uma descrição explícita das curvas/retas que limitam a região (equações das fronteiras, vértices, etc.). Sem essa figura ou descrição não há como escrever limites numéricos ou funções que descrevam a região.

Passo 2

Por que eu não posso dar limites explícitos agora:
  • Para definir limites de integração é preciso conhecer as curvas/retas que fazem fronteira da região hachurada (por exemplo, retas do tipo y=f(x) ou x=g(y), ou vértices de um polígono).
  • O enunciado só entregou a integranda |x+y| mas não descreveu a região. Sem a figura não dá para escolher os intervalos de x e y nem as funções que limitam y em termos de x (ou vice‑versa).
    Portanto, não é possível fornecer os limites pedidos sem a figura ou descrição da região.

Passo 3

Como se procede, em geral, para transformar uma área do plano em limites de integração (roteiro para a prova):
  • Identificar se a região é do tipo “vertical” (tipo I) ou “horizontal” (tipo II), ou se convém dividir a região em subregiões.
  • Tipo I (vertical): escrever a região como
\{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\},
e então a integral vira
\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} |x+y|\,dy\,dx.
Aqui a e b são os valores extremos de x e g_1(x),g_2(x) são as curvas inferiores e superiores em termos de x.
  • Tipo II (horizontal): escrever a região como
\{(x,y)\mid c\le y\le d,\; h_1(y)\le x\le h_2(y)\},
e então a integral vira
\int_{y=c}^{y=d}\int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} |x+y|\,dx\,dy.
Aqui c,d são os extremos de y e h_1,h_2 são as curvas limites em termos de y.
Dica prática: escolha o tipo (I ou II) que torna as funções limites mais simples (retas ou polinômios fáceis).

Passo 4

Como lidar com o valor absoluto |x+y| (passo obrigatório):
  • A linha onde a expressão muda de sinal é a reta
x+y=0 \quad\text{(ou seja, } y=-x\text{)}.
  • Divida a região R em duas subregiões:
    • R_+ = \{(x,y)\in R \mid x+y\ge 0\}, onde |x+y|=x+y.
    • R_- = \{(x,y)\in R \mid x+y<0\}, onde |x+y|=-(x+y).
  • Então escrevemos
\iint_R |x+y|\,dA = \iint_{R_+} (x+y)\,dA + \iint_{R_-} -(x+y)\,dA.
Na prática, isso significa que, ao definir os limites, você pode precisar dividir a integral em partes, usando as interseções da reta y=-x com as fronteiras da região para determinar onde cada fórmula vale.

Passo 5

Exemplo didático (não é a região do enunciado — é só para ver o procedimento em ação). Considere a região quadrada
R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; -1\le y\le 1\}.
Esta região cruza a reta y=-x. Vou montar os limites do tipo I (fixando x e integrando em y) e dividir onde necessário.
Para um x fixo em [-1,1], a reta y=-x divide o intervalo y\in[-1,1] em duas partes: y\in[-1,-x] (onde x+y\le0) e y\in[-x,1] (onde x+y\ge0). Assim
\iint_R |x+y|\,dA =\int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=-1}^{-x} -(x+y)\,dy + \int_{y=-x}^{1} (x+y)\,dy\right)dx.
Agora faço as integrais internas passo a passo.
Calcule a primeira interna:
\int_{y=-1}^{-x} -(x+y)\,dy = -\Big[x y + \tfrac{y^2}{2}\Big]_{y=-1}^{y=-x} = -\big( x(-x)+\tfrac{(-x)^2}{2} - (x(-1)+\tfrac{(-1)^2}{2})\big).
Simplificando:
= -\big(-x^2 + \tfrac{x^2}{2} -(-x + \tfrac{1}{2})\big) = x^2/2 - x + 1/2.
Calcule a segunda interna:
\int_{y=-x}^{1} (x+y)\,dy =\Big[x y + \tfrac{y^2}{2}\Big]_{y=-x}^{y=1} = \big(x+ \tfrac{1}{2}\big) - \big(-x^2 + \tfrac{x^2}{2}\big) = x + \tfrac{1}{2} + \tfrac{x^2}{2}.
Somando as duas partes para cada x:
\big(x^2/2 - x + 1/2\big) + \big(x + 1/2 + x^2/2\big) = x^2 + 1.
Agora integro em x:
\int_{-1}^{1} (x^2+1)\,dx =\Big[\tfrac{x^3}{3}+x\Big]_{-1}^{1} = \big(\tfrac{1}{3}+1\big) - \big(-\tfrac{1}{3}-1\big) = \tfrac{8}{3}.
Este exemplo mostrou:
  • Como escolher limites do tipo I,
  • Como dividir a integração ao longo da reta y=-x,
  • Como calcular as integrais internas sem pular etapas.

Passo 6

Resumo prático para você aplicar na prova (checklist rápido):
  1. Pegue a figura e identifique todas as curvas/retas que limitam a região; escreva suas equações.
  2. Decida se a região é melhor como tipo I ( a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)) ou tipo II ( c\le y\le d,\; h_1(y)\le x\le h_2(y)).
  3. Encontre interseções para obter os valores numéricos de a,b (ou c,d).
  4. Verifique onde a reta y=-x corta a região; divida a região em R_+ e R_- conforme necessário.
  5. Escreva a integral como soma das integrais sobre as subregiões, substituindo |x+y| por x+y em R_+ e por -(x+y) em R_-.
  6. Calcule as integrais internas passo a passo.

Resposta

Não é possível definir os limites de integração porque a área hachurada (figura) não foi enviada; é necessário a figura ou a descrição das fronteiras para escrever limites explícitos.

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