Questão 3 - (2 pontos) - Defina os limites de integração para a área hachurada, na integral dada,
Passo 1
O enunciado pede que eu “defina os limites de integração para a área hachurada” na integral
Informações fornecidas no enunciado:
e a indicação de que existe uma “área hachurada” (isto é, uma região do plano) sobre a qual integrar.
Informação que falta (necessária para definir limites): a figura com a área hachurada ou, alternativamente, uma descrição explícita das curvas/retas que limitam a região (equações das fronteiras, vértices, etc.). Sem essa figura ou descrição não há como escrever limites numéricos ou funções que descrevam a região.
Passo 2
Por que eu não posso dar limites explícitos agora:
- Para definir limites de integração é preciso conhecer as curvas/retas que fazem fronteira da região hachurada (por exemplo, retas do tipo
ou , ou vértices de um polígono). - O enunciado só entregou a integranda
mas não descreveu a região. Sem a figura não dá para escolher os intervalos de e nem as funções que limitam em termos de (ou vice‑versa).
Portanto, não é possível fornecer os limites pedidos sem a figura ou descrição da região.
Passo 3
Como se procede, em geral, para transformar uma área do plano em limites de integração (roteiro para a prova):
- Identificar se a região é do tipo “vertical” (tipo I) ou “horizontal” (tipo II), ou se convém dividir a região em subregiões.
- Tipo I (vertical): escrever a região como
e então a integral vira
Aqui
e
são os valores extremos de
e
são as curvas inferiores e superiores em termos de
.
- Tipo II (horizontal): escrever a região como
e então a integral vira
Aqui
são os extremos de
e
são as curvas limites em termos de
.
Dica prática: escolha o tipo (I ou II) que torna as funções limites mais simples (retas ou polinômios fáceis).
Passo 4
Como lidar com o valor absoluto
(passo obrigatório):
- A linha onde a expressão muda de sinal é a reta
- Divida a região
em duas subregiões: -
, onde . -
, onde .
-
- Então escrevemos
Na prática, isso significa que, ao definir os limites, você pode precisar dividir a integral em partes, usando as interseções da reta
com as fronteiras da região para determinar onde cada fórmula vale.
Passo 5
Exemplo didático (não é a região do enunciado — é só para ver o procedimento em ação). Considere a região quadrada
Esta região cruza a reta
. Vou montar os limites do tipo I (fixando
e integrando em
) e dividir onde necessário.
Para um
fixo em
, a reta
divide o intervalo
em duas partes:
(onde
) e
(onde
). Assim
Agora faço as integrais internas passo a passo.
Calcule a primeira interna:
Simplificando:
Calcule a segunda interna:
Somando as duas partes para cada
:
Agora integro em
:
Este exemplo mostrou:
- Como escolher limites do tipo I,
- Como dividir a integração ao longo da reta
, - Como calcular as integrais internas sem pular etapas.
Passo 6
Resumo prático para você aplicar na prova (checklist rápido):
- Pegue a figura e identifique todas as curvas/retas que limitam a região; escreva suas equações.
- Decida se a região é melhor como tipo I (
) ou tipo II ( ). - Encontre interseções para obter os valores numéricos de
(ou ). - Verifique onde a reta
corta a região; divida a região em e conforme necessário. - Escreva a integral como soma das integrais sobre as subregiões, substituindo
por em e por em . - Calcule as integrais internas passo a passo.
Resposta
Não é possível definir os limites de integração porque a área hachurada (figura) não foi enviada; é necessário a figura ou a descrição das fronteiras para escrever limites explícitos.