Encontre os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}-3}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}-3}{x-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão no numerador é \sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}-3.
  • Ao substituir x=1 no numerador obtém-se \sqrt[4]{1}+\sqrt[3]{1}+\sqrt{1}-3=1+1+1-3=0.
  • Ao substituir x=1 no denominador obtém-se 1-1=0.
  • Portanto a forma é do tipo indeterminado \tfrac{0}{0}, então o limite existe possivelmente e precisamos manipular a expressão para encontrá-lo.

Passo 2

Uma observação útil: defina a função
f(x)=\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}.
Então o numerador é f(x)-f(1) porque f(1)=3. Assim o limite original pode ser escrito como
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Agora recorde a definição de derivada de uma função num ponto: para uma função f diferenciável em a,
f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Portanto o limite pedido é exatamente a derivada de f no ponto 1:
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1).

Passo 3

Então basta calcular f'(1). Vamos derivar f termo a termo. Para isso usamos a regra de potência para x^r com r real positiva: escrever x^{r}=e^{r\ln x} e derivar usando a regra da cadeia dá
\frac{d}{dx}x^{r}=r x^{r-1}.
Aqui cada termo da função f é uma potência de x:
  • \sqrt[4]{x}=x^{1/4},
  • \sqrt[3]{x}=x^{1/3},
  • \sqrt{x}=x^{1/2}.
    Aplicando a regra de potência a cada termo, a derivada de f é
f'(x)=\frac{1}{4}x^{-3/4}+\frac{1}{3}x^{-2/3}+\frac{1}{2}x^{-1/2}.

Passo 4

Agora avaliamos f'(x) em x=1. Como 1 elevado a qualquer expoente é 1, tem-se
f'(1)=\frac{1}{4}\cdot 1^{-3/4}+\frac{1}{3}\cdot 1^{-2/3}+\frac{1}{2}\cdot 1^{-1/2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.

Passo 5

Somamos as frações \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}. O mínimo múltiplo comum dos denominadores 4,3,2 é 12. Escrevendo tudo em décimos-doze avos:
\frac{1}{4}=\frac{3}{12},\qquad \frac{1}{3}=\frac{4}{12},\qquad \frac{1}{2}=\frac{6}{12}.
Somando os numeradores:
\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{6}{12}=\frac{13}{12}.

Passo 6

Concluímos que o limite pedido é igual a f'(1) e que f'(1)=\dfrac{13}{12}. Força aí — esse tipo de limite aparece muito em provas e a ideia de reconhecer a forma \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} como derivada salva tempo e conta muita coisa!

Resposta

\dfrac{13}{12}

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