Encontre os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão no numerador é
. - Ao substituir
no numerador obtém-se . - Ao substituir
no denominador obtém-se . - Portanto a forma é do tipo indeterminado
, então o limite existe possivelmente e precisamos manipular a expressão para encontrá-lo.
Passo 2
Uma observação útil: defina a função
Então o numerador é
porque
. Assim o limite original pode ser escrito como
Agora recorde a definição de derivada de uma função num ponto: para uma função
diferenciável em
,
Portanto o limite pedido é exatamente a derivada de
no ponto
:
Passo 3
Então basta calcular
. Vamos derivar
termo a termo. Para isso usamos a regra de potência para
com
real positiva: escrever
e derivar usando a regra da cadeia dá
Aqui cada termo da função
é uma potência de
:
-
, -
, -
.
Aplicando a regra de potência a cada termo, a derivada deé
Passo 4
Agora avaliamos
em
. Como
elevado a qualquer expoente é
, tem-se
Passo 5
Somamos as frações
. O mínimo múltiplo comum dos denominadores
é
. Escrevendo tudo em décimos-doze avos:
Somando os numeradores:
Passo 6
Concluímos que o limite pedido é igual a
e que
. Força aí — esse tipo de limite aparece muito em provas e a ideia de reconhecer a forma
como derivada salva tempo e conta muita coisa!