Encontre os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt{x+7}-\sqrt{8}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt{x+7}-\sqrt{8}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão envolve uma raiz cúbica no numerador e uma raiz quadrada no denominador.
  • Ao substituir x=1 diretamente, obtemos no numerador \sqrt[3]{1+7}-2=\sqrt[3]{8}-2=2-2=0 e no denominador \sqrt{1+7}-\sqrt{8}=\sqrt{8}-\sqrt{8}=0.
  • Portanto a forma é indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}. A partir daqui é necessário manipular a expressão ou aplicar um método para resolver esse tipo de indeterminação.

Passo 2

Escolha do método e explicação: vou usar a Regra de l’Hôpital porque estamos numa indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e tanto o numerador quanto o denominador são funções diferenciáveis numa vizinhança de x=1. A Regra de l’Hôpital diz que, se
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}
é uma indeterminação \tfrac{0}{0} (ou \tfrac{\infty}{\infty}) e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista. Vou aplicar isso aqui: f(x)=\sqrt[3]{x+7}=(x+7)^{1/3} e g(x)=\sqrt{x+7}=(x+7)^{1/2}.
Antes de derivar, lembro a regra de derivação de uma potência composta: se h(x)=(u(x))^n então h'(x)=n\,(u(x))^{n-1}\,u'(x). Aqui u(x)=x+7 e u'(x)=1.

Passo 3

Calcular as derivadas passo a passo:
Derivada do numerador f(x)=(x+7)^{1/3}:
f'(x)=\frac{1}{3}(x+7)^{-2/3}.
Derivada do denominador g(x)=(x+7)^{1/2}:
g'(x)=\frac{1}{2}(x+7)^{-1/2}.
Pela Regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{\sqrt{x+7}-\sqrt{8}} = \lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 1}\frac{\dfrac{1}{3}(x+7)^{-2/3}}{\dfrac{1}{2}(x+7)^{-1/2}}.

Passo 4

Avaliar o quociente das derivadas em x=1 e simplificar:
Substituindo x=1 temos x+7=8. Então
\frac{f'(1)}{g'(1)}=\frac{\dfrac{1}{3}\,8^{-2/3}}{\dfrac{1}{2}\,8^{-1/2}}.
Agora simplifico os potências de 8:
8^{-2/3}=\bigl(8^{1/3}\bigr)^{-2}=2^{-2}=\frac{1}{4}, \qquad 8^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Substituindo:
\frac{f'(1)}{g'(1)}=\frac{\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{4\sqrt{2}}}.
Dividindo frações:
\frac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{4\sqrt{2}}}=\frac{1}{12}\cdot\frac{4\sqrt{2}}{1}=\frac{4\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

Interpretação curta e dica de prova: o resultado \dfrac{\sqrt{2}}{3} também pode ser visto como razão entre as aproximações lineares (reta tangente) das duas funções em x=1: para pequenas variações h em x, \sqrt[3]{8+h}-2\approx \dfrac{1}{12}h e \sqrt{8+h}-\sqrt{8}\approx \dfrac{1}{4\sqrt{2}}h; a razão dessas duas aproximações dá o mesmo limite. Isso é útil na prova quando não se quer repetir a derivação formal.
Força aí — deu trabalho, mas a ideia-chave é reconhecer a indeterminação \tfrac{0}{0} e aplicar l’Hôpital com calma.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{3}

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