Encontre os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão envolve uma raiz cúbica no numerador e uma raiz quadrada no denominador.
- Ao substituir
diretamente, obtemos no numerador e no denominador . - Portanto a forma é indeterminada do tipo
. A partir daqui é necessário manipular a expressão ou aplicar um método para resolver esse tipo de indeterminação.
Passo 2
Escolha do método e explicação: vou usar a Regra de l’Hôpital porque estamos numa indeterminação do tipo
e tanto o numerador quanto o denominador são funções diferenciáveis numa vizinhança de
. A Regra de l’Hôpital diz que, se
é uma indeterminação
(ou
) e
são diferenciáveis perto de
com
próximo de
, então
desde que o limite à direita exista. Vou aplicar isso aqui:
e
.
Antes de derivar, lembro a regra de derivação de uma potência composta: se
então
. Aqui
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas passo a passo:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Pela Regra de l’Hôpital,
Passo 4
Avaliar o quociente das derivadas em
e simplificar:
Substituindo
temos
. Então
Agora simplifico os potências de
:
Substituindo:
Dividindo frações:
Passo 5
Interpretação curta e dica de prova: o resultado
também pode ser visto como razão entre as aproximações lineares (reta tangente) das duas funções em
: para pequenas variações
em
,
e
; a razão dessas duas aproximações dá o mesmo limite. Isso é útil na prova quando não se quer repetir a derivação formal.
Força aí — deu trabalho, mas a ideia-chave é reconhecer a indeterminação
e aplicar l’Hôpital com calma.