Encontre os seguintes limites.
.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
:
com as condições
e
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O parâmetro
é positivo ( ); também foi informado .
O que se pede: encontrar o valor do limite acima, em função de
.
Passo 2
Vamos estudar separadamente o comportamento do numerador ao aproximar
de
. O numerador é uma função polinomial simples:
Ao fazermos
temos
e
. Portanto o numerador tende a
Passo 3
Agora analisamos o denominador e calculamos seu valor quando
. Primeiro expandimos e avaliamos em
:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Verificamos se o denominador tende a zero ou não. Pelo cálculo do passo anterior,
Como foi dado
, segue que
. Logo o denominador tende a um número estritamente distinto de zero.
Passo 5
Usamos agora um resultado muito simples sobre limites: se
e
com
, então
No nosso caso
tem limite
e
tem limite
. Portanto o limite pedido é simplesmente
dividido por
.
Passo 6
Calculamos a razão final: