Encontre os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x^{2}}{(1+a x)^{2}-\left(a+x^{2}\right)}, a>0, a \neq 1.

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x\to1:
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x^{2}}{(1+a x)^{2}-\left(a+x^{2}\right)},
com as condições a>0 e a\neq 1.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão do numerador é 1-x^{2}.
  • A expressão do denominador é (1+a x)^{2}-\left(a+x^{2}\right).
  • O parâmetro a é positivo ( a>0); também foi informado a\neq 1.
O que se pede: encontrar o valor do limite acima, em função de a.

Passo 2

Vamos estudar separadamente o comportamento do numerador ao aproximar x de 1. O numerador é uma função polinomial simples:
1-x^{2}=(1-x)(1+x).
Ao fazermos x\to1 temos 1+x\to 2 e 1-x\to 0. Portanto o numerador tende a
\lim_{x\to1} (1-x^{2}) = 0.

Passo 3

Agora analisamos o denominador e calculamos seu valor quando x\to1. Primeiro expandimos e avaliamos em x=1:
(1+a x)^{2}-\left(a+x^{2}\right) = 1+2ax+a^{2}x^{2}-a-x^{2}.
Substituindo x=1 obtemos
(1+a)^{2}-(a+1)=1+2a+a^{2}-a-1 = a+a^{2}=a(1+a).

Passo 4

Verificamos se o denominador tende a zero ou não. Pelo cálculo do passo anterior,
\lim_{x\to1}\big((1+a x)^{2}-\left(a+x^{2}\right)\big)=a(1+a).
Como foi dado a>0, segue que a(1+a)>0. Logo o denominador tende a um número estritamente distinto de zero.

Passo 5

Usamos agora um resultado muito simples sobre limites: se \lim_{x\to1} f(x)=L e \lim_{x\to1} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
No nosso caso f(x)=1-x^{2} tem limite L=0 e g(x)=(1+ax)^{2}-(a+x^{2}) tem limite M=a(1+a)\neq0. Portanto o limite pedido é simplesmente 0 dividido por a(1+a).

Passo 6

Calculamos a razão final:
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x^{2}}{(1+a x)^{2}-\left(a+x^{2}\right)}=\frac{0}{a(1+a)}=0.

Resposta

0

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