Encontre uma série cuja n-ésima soma vem dada por:
S_{n}=\frac{1}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a soma parcial de uma série S_n=\sum_{k=1}^n a_k igual a
S_n = \frac1{2^n}.
Precisamos achar os termos a_n de forma que a soma até n seja exatamente 1/2^n. O conteúdo utilizado será a relação
a_n = S_n - S_{n-1},
adotando S_0=0.

Passo 2

Calculemos o primeiro termo a_1 usando
a_1 = S_1 - S_0 = \frac1{2^1} - 0 = \frac12.

Passo 3

Para n\ge2, aplicamos
a_n = S_n - S_{n-1} = \frac1{2^n} - \frac1{2^{\,n-1}} = \frac{1 - 2}{2^n} = -\frac1{2^n}.

Passo 4

Portanto, a série buscada tem termos
a_1 = \frac12, \quad a_n = -\frac1{2^n}\quad(\text{para }n\ge2),
isto é, em forma explícita,
\sum_{n=1}^{\infty}a_n =\frac12 - \frac14 - \frac18 - \frac1{16} - \cdots,
cuja soma parcial até n é mesmo S_n=1/2^n.

Resposta

A série é
\sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad\text{com}\quad a_1=\frac12, \quad a_n=-\frac1{2^n}\\ (\forall n\ge2),
cuja n-ésima soma é S_n=1/2^n.

Exercícios relacionados