2.2B Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
\sqrt{ } (a) se \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge;
(b) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge, então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq 0;
\checkmark (c) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge e a_{n} \geq 0, \forall n, então \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_{n}} converge;
(d) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} diverge;
\checkmark (e) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} divergem, então \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) diverge;
(f) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge e a_{n} \neq 0, \forall n, então \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} converge;
(g) se \left\{a_{n}\right\} é uma sequência constante, então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge;
\checkmark(\mathrm{h}) se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=100}^{\infty} a_{n} converge.

Passo 1

O enunciado pede para dizer se cada uma das afirmações sobre séries numéricas é verdadeira ou falsa, justificando. Vamos usar como ferramenta principal a condição necessária de convergência de séries: se \sum a_n converge então obrigatoriamente \lim_{n\to\infty}a_n=0. Além disso, construiremos contraexemplos clássicos (como a série harmônica) e usaremos propriedades de séries de termos não negativos e de somas parciais (legado de “retirar uma cauda” da série).

Passo 2

Analisando (a) e (b):
  • (a) “se \lim_{n\to\infty}a_n=0, então \sum_{n=1}^\infty a_n converge.”
    É falso: a condição \lim a_n=0 é necessária, mas não suficiente. Contraexemplo clássico é a_n=\frac1n,para o qual \lim_{n\to\infty}a_n=0 mas \sum1/n diverge (série harmônica).
  • (b) “se \sum_{n=1}^\infty a_n diverge, então \lim_{n\to\infty}a_n\neq0.”
    Também é falso: basta tomar de novo a_n=1/n. A série diverge, mas \lim_{n\to\infty}1/n=0.

Passo 3

Analisando (c) e (d):
  • (c) “se \sum a_n converge e a_n\ge0, então \sum\sqrt{a_n} converge.”
    É falso. Tome a_n=\frac1{n^2},então \sum a_n é convergente (série p com p=2), mas \sqrt{a_n}=\frac1ngera a série harmônica, que diverge.
  • (d) “se \sum a_n diverge, então \sum a_n^2 diverge.”
    É falso. Novamente, com a_n=\frac1n,a série \sum1/n diverge, mas a_n^2=\frac1{n^2}gera uma série convergente.

Passo 4

Analisando (e) e (f):
  • (e) “se \sum a_n e \sum b_n divergem, então \sum(a_n+b_n) diverge.”
    É falso. Por exemplo, deixe a_n=\frac1n,\quad b_n=-\frac1n.Cada soma parcial diverge em módulo, mas a_n+b_n=0faz \sum(a_n+b_n) convergir trivialmente a 0.
  • (f) “se \sum a_n diverge e a_n\neq0 para todo n, então \sum1/a_n converge.”
    É falso. Basta pegar a_n=1/n de novo: \sum a_n diverge, mas \frac1{a_n}=nfaz \sum n também divergir.

Passo 5

Analisando (g) e (h):
  • (g) “se \{a_n\} é constante, então \sum a_n converge.”
    É falso: se a_n=c\neq0 então a soma parcial é cn e diverge para infinito (ou menos infinito, se c<0).
  • (h) “se \sum_{n=1}^\infty a_n converge, então \sum_{n=100}^\infty a_n converge.”
    É verdadeiro, pois remover finitamente muitos termos (os primeiros 99) não afeta a convergência da “cauda” da série.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) V

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