2.2B Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
(a) se
, então
converge;
(b) se
diverge, então
;
(c) se
converge e
, então
converge;
(d) se
diverge, então
diverge;
(e) se
e
divergem, então
diverge;
(f) se
diverge e
, então
converge;
(g) se
é uma sequência constante, então
converge;
se
converge, então
converge.
(b) se
(d) se
(f) se
(g) se
Passo 1
O enunciado pede para dizer se cada uma das afirmações sobre séries numéricas é verdadeira ou falsa, justificando. Vamos usar como ferramenta principal a condição necessária de convergência de séries: se
converge então obrigatoriamente
. Além disso, construiremos contraexemplos clássicos (como a série harmônica) e usaremos propriedades de séries de termos não negativos e de somas parciais (legado de “retirar uma cauda” da série).
Passo 2
Analisando (a) e (b):
- (a) “se
, então converge.”
É falso: a condiçãoé necessária, mas não suficiente. Contraexemplo clássico é para o qual mas diverge (série harmônica). - (b) “se
diverge, então .”
Também é falso: basta tomar de novo. A série diverge, mas .
Passo 3
Analisando (c) e (d):
- (c) “se
converge e , então converge.”
É falso. Tomeentão é convergente (série com ), mas gera a série harmônica, que diverge. - (d) “se
diverge, então diverge.”
É falso. Novamente, coma série diverge, mas gera uma série convergente.
Passo 4
Analisando (e) e (f):
- (e) “se
e divergem, então diverge.”
É falso. Por exemplo, deixeCada soma parcial diverge em módulo, mas faz convergir trivialmente a . - (f) “se
diverge e para todo , então converge.”
É falso. Basta pegarde novo: diverge, mas faz também divergir.
Passo 5
Analisando (g) e (h):
- (g) “se
é constante, então converge.”
É falso: seentão a soma parcial é e diverge para infinito (ou menos infinito, se ). - (h) “se
converge, então converge.”
É verdadeiro, pois remover finitamente muitos termos (os primeiros 99) não afeta a convergência da “cauda” da série.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) V
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) V