2.2E Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n}
que é uma série geométrica com termo inicial a=1 (quando n=0) e razão r=\tfrac{2}{3}. Vamos usar o critério de convergência e a fórmula da soma de séries geométricas.

Passo 2

Uma série geométrica \sum_{n=0}^\infty ar^n converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui
\bigl\lvert\tfrac{2}{3}\bigr\rvert = \tfrac{2}{3} < 1,
portanto a série converge.

Passo 3

Para uma série geométrica convergente, a soma é
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo a=1 e r=\tfrac{2}{3} obtemos
S = \frac{1}{1 - \tfrac{2}{3}} = \frac{1}{\tfrac{1}{3}} = 3.

Resposta

3

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