Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das séries seguintes (informe sempre o nome do teste e/ou da sequência utilizada como referência).
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3^{k-1}}{4^{k+1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu afirme, com justificativa e indicando o teste usado, se a série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3^{k-1}}{4^{k+1}}\right)
é convergente ou divergente. As informações dadas são exatamente os termos da série: para cada k\ge 1 o termo geral é \dfrac{3^{k-1}}{4^{k+1}}. A tarefa é decidir convergência/divergência e citar o teste ou sequência usada como referência.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de forma que fique claro o tipo de série que temos. Começo manipulando algebricamente \dfrac{3^{k-1}}{4^{k+1}}:
\frac{3^{k-1}}{4^{k+1}} = \frac{3^{k}}{3}\cdot\frac{1}{4^{k}\cdot 4} = \frac{1}{12}\cdot\frac{3^{k}}{4^{k}} = \frac{1}{12}\left(\frac{3}{4}\right)^{k}.
Outra forma útil é observar o primeiro termo (quando k=1):
a_1=\frac{3^{0}}{4^{2}}=\frac{1}{16}.
Ambas as formas são equivalentes; a expressão \dfrac{1}{12}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{k} mostra claramente um fator constante vezes uma potência de \dfrac{3}{4}, sugerindo que se trata de uma série geométrica.

Passo 3

Explico o teste que vou usar (série geométrica) de maneira didática. Uma série geométrica tem forma geral
\sum_{k=1}^{\infty} a_1 r^{k-1} \quad\text{ou}\quad \sum_{k=1}^{\infty} b\, r^{k},
onde a_1 é o primeiro termo (quando a forma é com r^{k-1}) e r é a razão comum. O comportamento é:
  • Se |r|<1, então a série geométrica converge e a soma é
\text{soma}=\frac{a_1}{1-r}
(no caso da forma com a_1 r^{k-1}), porque as somas parciais são
S_n = a_1\frac{1-r^{n}}{1-r},
e quando |r|<1 temos r^{n}\to 0 quando n\to\infty, portanto S_n\to \dfrac{a_1}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série geométrica diverge porque r^{n} não tende a zero.
Aqui, a_1 e r são variáveis que representam, respectivamente, o primeiro termo da série e a razão entre termos consecutivos; o requisito |r|<1 garante que as potências r^{n} vão para zero.

Passo 4

Aplicando isso à nossa série. A forma que obtivemos foi
\frac{3^{k-1}}{4^{k+1}} = \frac{1}{12}\left(\frac{3}{4}\right)^{k}.
Nessa escrita podemos ver a razão
r=\frac{3}{4}.
Calculamos o módulo da razão:
|r|=\left|\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}<1.
Portanto, pelo teste da série geométrica (nome do teste: série geométrica), a série converge. Para encontrar a soma, uso a forma com a_1. Já calculei a_1=\dfrac{1}{16}. Logo a soma é
\text{soma}=\frac{a_1}{1-r}=\frac{\tfrac{1}{16}}{1-\tfrac{3}{4}} =\frac{\tfrac{1}{16}}{\tfrac{1}{4}} =\frac{1}{16}\cdot 4 = \frac{1}{4}.
Se preferir ver pela forma \dfrac{1}{12}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{k}, obtemos a mesma soma:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{12}\left(\frac{3}{4}\right)^{k} = \frac{1}{12}\cdot\frac{\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{3}{4}} = \frac{1}{12}\cdot\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{4}} = \frac{1}{12}\cdot 3 = \frac{1}{4}.

Passo 5

Para reforçar a conclusão, aplico também o teste da razão (nome do teste: teste da razão de d’Alembert) como verificação alternativa. Para o termo geral a_k=\dfrac{3^{k-1}}{4^{k+1}} calculo
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left|\frac{\dfrac{3^{k}}{4^{k+2}}}{\dfrac{3^{k-1}}{4^{k+1}}}\right| = \left|\frac{3^{k}}{3^{k-1}}\cdot\frac{4^{k+1}}{4^{k+2}}\right| = \left|3\cdot\frac{1}{4}\right| = \frac{3}{4}.
Como o limite (aqui é constante) é \dfrac{3}{4}<1, o teste da razão também garante convergência absoluta da série. Isso confirma o resultado obtido pelo teste da série geométrica.

Passo 6

Resumo final e um incentivo: concluímos de duas maneiras (série geométrica e teste da razão) que a série converge, e calculamos a soma explicitamente. Ótimo trabalho por ter chegado até aqui — entendeu como identificar uma série geométrica e aplicar os testes!

Resposta

Converge (série geométrica com razão r=\tfrac{3}{4}, pelo teste da série geométrica). Soma =\tfrac{1}{4}.

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