Determine desenvolvimentos de meio intervalo da série de Fourier em senos e cossenos para a função dada.
Passo 1
O problema pede as séries de Fourier de meio intervalo (0,2) para f(x)=2−x, usando expansão em cossenos (extensão par) e em senos (extensão ímpar). Vamos usar L=2 e as fórmulas-padrão de coeficientes para meio intervalo.
Passo 2
Para L=2, a expansão em cossenos é
f(x)=A₀/2+∑ₙ₌₁^∞ Aₙ cos(nπx/2)
e a expansão em senos é
e a expansão em senos é
f(x)=∑ₙ₌₁^∞ Bₙ sin(nπx/2).
Os coeficientes valem
A₀ = (2/L) ∫₀ᴸ f(x)dx,
Aₙ = (2/L) ∫₀ᴸ f(x) cos(nπx/L)dx,
Bₙ = (2/L) ∫₀ᴸ f(x) sin(nπx/L)dx.
Aₙ = (2/L) ∫₀ᴸ f(x) cos(nπx/L)dx,
Bₙ = (2/L) ∫₀ᴸ f(x) sin(nπx/L)dx.
Passo 3
Calculemos A₀:
A₀ = (2/2) ∫₀² (2−x)dx = ∫₀² (2−x)dx = [2x − x²/2]₀² = 4 − 2 = 2.
Logo A₀/2 = 1.
Passo 4
Agora Aₙ:
Aₙ = ∫₀² (2−x) cos( nπx/2 ) dx.
Separamos em dois termos e aplicamos integração por partes em ∫₀² x cos(nπx/2)dx. O resultado é
Separamos em dois termos e aplicamos integração por partes em ∫₀² x cos(nπx/2)dx. O resultado é
Aₙ = (4/(n²π²))(1 − (−1)ⁿ).
Isso zera para n par e, para n=2k−1 ímpar,
A_{2k−1} = 8/[(2k−1)²π²].
Passo 5
Agora Bₙ:
Bₙ = ∫₀² (2−x) sin( nπx/2 ) dx.
Também dividimos em 2∫sin−∫x sin e usamos partes. Dá
Também dividimos em 2∫sin−∫x sin e usamos partes. Dá
Bₙ = 4/(nπ)
para todo n.
Passo 6
Portanto, as séries ficam:
Passo 7
Resposta
Série de cossenos (extensão par):
f(x)=1+∑_{k=1}^∞ \frac{8}{(2k-1)2\pi2}\cos\Bigl(\frac{(2k-1)\pi x}{2}\Bigr)
Série de senos (extensão ímpar):
f(x)=∑_{n=1}^∞ \frac{4}{n\pi}\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)