Encontre a Série de Fourier da função dada
f(x)=cx+1, -1 <= x<0 1-x, 0 <= x<1, f(x+2)=f(x).

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2 dada por
f(x)= x+1,&-1<= x<01-x,&0<= x<1 com f(x+2)=f(x). O objetivo é obter a Série de Fourier dessa função, usando coeficientes a₀, a_n e b_n.

Passo 2

Como o período T=2, temos L=T/2=1. A Série de Fourier para funções de período 2 é
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r)
com
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx, bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx

Passo 3

Observamos que f(x) é função par, pois f(-x)=f(x). Logo todos os b_n são nulos e podemos usar
an=2integral0^1f(x)cos(npi x),dx, bn=0

Passo 4

Cálculo de a_0:
a0=integral-1^1f(x),dx=integral-1^0(x+1),dx+integral0^1(1-x),dx=12+12=1

Passo 5

Expressamos a_n em termos de integral em [0,1]:
an=2integral0^1(1-x)cos(npi x),dx

Passo 6

Para avaliar I=\int_{0}^{1}(1-x)\cos(n\pi x),dx separamos em duas partes:
I=integral0^1cos(npi x),dx-integral0^1xcos(npi x),dx
A primeira integral é
integral0^1cos(npi x),dx=sin(npi)npi=0
Para a segunda usamos integração por partes (u=x, dv=cos(nπx)dx) e obtemos
integral0^1xcos(npi x),dx=(-1)^n-1n^2pi^2

Passo 7

Assim
I=1-(-1)^nn^2pi^2, an=2I=2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2
Dessa forma a_n=0 para n par e a_n=4/(n2) para n ímpar.

Resposta

A Série de Fourier de f(x) fica:
f(x)=12+sumk=0^infty4pi^2(2k+1)^2cosl((2k+1)pi xr)

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