Encontre a Série de Fourier da função dada
.
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período 2 dada por
f(x)= com f(x+2)=f(x). O objetivo é obter a Série de Fourier dessa função, usando coeficientes a₀, a_n e b_n.
f(x)=
Passo 2
Como o período T=2, temos L=T/2=1. A Série de Fourier para funções de período 2 é
com
Passo 3
Observamos que f(x) é função par, pois f(-x)=f(x). Logo todos os b_n são nulos e podemos usar
Passo 4
Cálculo de a_0:
Passo 5
Expressamos a_n em termos de integral em [0,1]:
Passo 6
Para avaliar I=\int_{0}^{1}(1-x)\cos(n\pi x),dx separamos em duas partes:
A primeira integral é
Para a segunda usamos integração por partes (u=x, dv=cos(nπx)dx) e obtemos
Passo 7
Assim
Dessa forma a_n=0 para n par e a_n=4/(n2π2) para n ímpar.
Resposta
A Série de Fourier de f(x) fica: