Encontre os valores extremos das funções nos respectivos domínios.
(e) f(x, y)=x^2+2 x y^2, x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Queremos encontrar os extremos (máximo e mínimo) da função f(x,y)=x^2+2xy^2 sobre o domínio fechado D=(x,y)mid x^2+y^2<=1. Como o domínio é compacto e a função é contínua, os extremos ocorrem ou em pontos críticos internos ( nabla f=0) ou no contorno ( x^2+y^2=1), onde usaremos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Cálculo dos pontos críticos internos: Calculamos o gradiente:
nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y)=(2x+2y^2,,4xy)
Impondo nabla f=0 obtemos
2x+2y^2=0,4xy=0
Daí vêm as equações y=0 ou x=0. Verificando ambas, vemos que a única solução comum é (0,0), com f(0,0)=0.

Passo 3

Análise do contorno via Lagrange: Definimos
L(x,y,lambda)=x^2+2xy^2-lambda(x^2+y^2-1)
e escrevemos as condições:
2x+2y^2-2lambda x=0, 4xy-2lambda y=0, x^2+y^2=1

Passo 4

Resolução das equações de Lagrange: Da segunda condição y(4x-2lambda)=0 surgem dois casos:
• Caso 1: y=0. Substituindo em x^2+y^2=1 x=pm1.
• Caso 2: yneq0 e lambda=2x. Na primeira condição obtemos
x(1-2x)+y^2=0
Como y^2=1-x^2, isso leva à equação
-3x^2+x+1=0
cuja solução é x=(1pmraiz13)/6.

Passo 5

Determinação de y e avaliação de f no contorno: Para x=1+raiz136 temos
y=pmraiz1-x^2=pmraiz11-raiz1318,
e
f= x^2+2x(1-x^2)=19+13raiz1354approx1.219
Para x=1-raiz136 obtemos
f=19-13raiz1354approx-0.516
Nos pontos (pm1,0), f=1.

Passo 6

Comparação dos valores: Reunindo os valores:
• Interior: f(0,0)=0
• Contorno caso y=0: f(pm1,0)=1
• Contorno caso geral: f=tfrac19+13raiz1354approx1.219 e f=tfrac19-13raiz1354approx-0.516
O maior valor é tfrac19+13raiz1354 e o menor é tfrac19-13raiz1354.

Resposta

Valor mínimo global: fmin=tfrac19-13raiz1354 atingido em atingido em (\bigl(x,y\bigr)=\Bigl(\tfrac{1+\sqrt{13}}6,\pm\sqrt{\tfrac{11-\sqrt{13}}{18}}\Bigr).

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