Encontre os valores extremos das funções nos respectivos domínios.
(e)
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: Queremos encontrar os extremos (máximo e mínimo) da função sobre o domínio fechado . Como o domínio é compacto e a função é contínua, os extremos ocorrem ou em pontos críticos internos () ou no contorno (), onde usaremos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Cálculo dos pontos críticos internos: Calculamos o gradiente:
Impondo obtemos
Daí vêm as equações ou . Verificando ambas, vemos que a única solução comum é , com .
Passo 3
Análise do contorno via Lagrange: Definimos
e escrevemos as condições:
Passo 4
Resolução das equações de Lagrange: Da segunda condição y(4x-2lambda)=0 surgem dois casos:
• Caso 1: y=0. Substituindo em x^2+y^2=1 dá x=pm1.
• Caso 2: yneq0 e lambda=2x. Na primeira condição obtemos
x(1-2x)+y^2=0
Como y^2=1-x^2, isso leva à equação
-3x^2+x+1=0
cuja solução é x=(1pmraiz13)/6.
Passo 5
Determinação de y e avaliação de f no contorno: Para x=1+raiz136 temos
y=pmraiz1-x^2=pmraiz11-raiz1318,
e
f= x^2+2x(1-x^2)=19+13raiz1354approx1.219
Para x=1-raiz136 obtemos
f=19-13raiz1354approx-0.516
Nos pontos (pm1,0), f=1.
Passo 6
Comparação dos valores: Reunindo os valores:
• Interior: f(0,0)=0
• Contorno caso y=0: f(pm1,0)=1
• Contorno caso geral: f=tfrac19+13raiz1354approx1.219 e f=tfrac19-13raiz1354approx-0.516
O maior valor é tfrac19+13raiz1354 e o menor é tfrac19-13raiz1354.
Resposta
Valor mínimo global: fmin=tfrac19-13raiz1354 atingido em atingido em (\bigl(x,y\bigr)=\Bigl(\tfrac{1+\sqrt{13}}6,\pm\sqrt{\tfrac{11-\sqrt{13}}{18}}\Bigr).