Encontre os valores extremos das funções nos respectivos domínios.
© f(x, y)=x+y-x^2-y^2-x y, 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores extremos da função $ f(x, y) = x + y - x^{2} - y^{2} - xy $ no domínio onde $ x $ e $ y $ variam de 0 a 2. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente encontrar máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar tanto os pontos críticos internos quanto os valores nas bordas do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos internos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero:
y
x

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações formado:
Da equação (1):
y = 1 - 2x (3)
Agora, substituímos $ y $ da equação (3) na equação (2):
y
Simplificando:
1 - 2(1 - 2x) - x = 0
1 - 2 + 4x - x = 0
Agora, substituímos $ x = \frac{1}{3} $ na equação (3):
-1 + 3x = 0 Rightarrow x = 13
Então, temos um ponto crítico interno em $ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) $.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
fxx = -2, fyy = -2, fxy = -1
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (-2)(-2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) $ é um ponto de máximo relativo.

Passo 5

Agora, precisamos verificar os valores das funções nas bordas do domínio $ [0,2] \times [0,2] $.
As bordas são onde $ x = 0 $, $ x = 2 $, $ y = 0 $ e $ y = 2 $.
Vamos avaliar $ f $ em cada borda:
  1. Quando $ x = 0 $:
[0,2] times [0,2]
Encontramos o extremo dessa função de $ y $:
x = 0
Então, $ f(0, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $
  1. Quando $ x = 2 $:
x = 2
Para $ y $ no intervalo [0,2], o máximo ocorre em $ y = 0 $:
y = 0
  1. Quando $ y = 0 $:
y = 2
Encontramos o extremo dessa função de $ x $:
f
Então, $ f\left(\frac{1}{2}, 0\right) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $
  1. Quando $ y = 2 $:
x = 0
Para $ x $ no intervalo [0,2], o máximo ocorre em $ x = 0 $:
f(0, y) = 0 + y - 0 - y^2 - 0 = y - y^2

Passo 6

Compilando todos os pontos críticos e valores nas bordas:
  • Ponto interno: $ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) $ com $ f\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^{2} - \left(\frac{1}{3}\right)^{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{3} - \frac{3}{9} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $
  • Bordas:
    • $ f(0, \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} $
    • $ f\left(\frac{1}{2}, 0\right) = \frac{1}{4} $
    • $ f(2,0) = -2 $
    • $ f(0,2) = -2 $

Resposta

Os valores extremos da função $ f(x, y) = x + y - x^{2} - y^{2} - xy $ no domínio $ 0 \leq x \leq 2 $ e $ 0 \leq y \leq 2 $ são:
  • Máximo absoluto: $ \frac{1}{3} $ no ponto $ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) $
  • Mínimo absoluto: $ -2 $ nos pontos $ (2, 0) $ e $ (0, 2) $

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