Encontre os valores extremos das funções nos respectivos domínios.
©
e
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores extremos da função $ f(x, y) = x + y - x^{2} - y^{2} - xy $ no domínio onde $ x $ e $ y $ variam de 0 a 2. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente encontrar máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar tanto os pontos críticos internos quanto os valores nas bordas do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos internos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações formado:
Da equação (1):
Agora, substituímos $ y $ da equação (3) na equação (2):
Simplificando:
Agora, substituímos $ x = \frac{1}{3} $ na equação (3):
Então, temos um ponto crítico interno em $ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) $.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) $ é um ponto de máximo relativo.
Passo 5
Agora, precisamos verificar os valores das funções nas bordas do domínio $ [0,2] \times [0,2] $.
As bordas são onde $ x = 0 $, $ x = 2 $, $ y = 0 $ e $ y = 2 $.
Vamos avaliar $ f $ em cada borda:
- Quando $ x = 0 $:
Encontramos o extremo dessa função de $ y $:
Então, $ f(0, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $
- Quando $ x = 2 $:
Para $ y $ no intervalo [0,2], o máximo ocorre em $ y = 0 $:
- Quando $ y = 0 $:
Encontramos o extremo dessa função de $ x $:
Então, $ f\left(\frac{1}{2}, 0\right) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $
- Quando $ y = 2 $:
Para $ x $ no intervalo [0,2], o máximo ocorre em $ x = 0 $:
Passo 6
Compilando todos os pontos críticos e valores nas bordas:
-
Ponto interno: $ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) $ com $ f\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^{2} - \left(\frac{1}{3}\right)^{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{3} - \frac{3}{9} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $
-
Bordas:
- $ f(0, \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} $
- $ f\left(\frac{1}{2}, 0\right) = \frac{1}{4} $
- $ f(2,0) = -2 $
- $ f(0,2) = -2 $
Resposta
Os valores extremos da função $ f(x, y) = x + y - x^{2} - y^{2} - xy $ no domínio $ 0 \leq x \leq 2 $ e $ 0 \leq y \leq 2 $ são:
- Máximo absoluto: $ \frac{1}{3} $ no ponto $ \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) $
- Mínimo absoluto: $ -2 $ nos pontos $ (2, 0) $ e $ (0, 2) $