O enunciado nos dá uma função periódica com período 8 definida por pedaços no intervalo 0<x<4:
Para 0<x<2 vale f(x)=1.
Para 2<x<4 vale f(x)=0.
O enunciado pede: encontrar a série de Fourier da função periódica de período 8.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
Período T=8.
A função é estendida periodicamente com período 8, portanto no intervalo [0,8) temos f(x)=1 em 0<x<2 e também em 4<x<6 (cópia do padrão 0<x<2 deslocada de 4), e f(x)=0 em 2<x<4 e em 6<x<8.
Pontos de descontinuidade ocorrem em x=0,2,4,6,8,\dots (valores nos pontos não influenciam os coeficientes integrais).
Passo 2
Vou escrever a forma padrão da série de Fourier para uma função de período T. A série tem a forma
a_0 é (duas vezes) a média da função num período; na série aparece como a_0/2.
a_n mede a “projeção” de f sobre \cos(n\omega_0 x).
b_n mede a “projeção” de f sobre \sin(n\omega_0 x).
Vou aplicar essas fórmulas usando que, num período [0,8), f(x)=1 somente em 0<x<2 e em 4<x<6, e é zero nos outros subintervalos.
para todo inteiro n. Portanto todas as expressões se anulam e concluímos
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge 1.
Explicação intuitiva: a contribuição dos dois intervalos de largura 2 separados por 4 unidades cancela nas projeções sobre os cossenos, pois a fase dá \sin(n\pi)=0.
Passo 5
Cálculo de b_n (coeficientes de seno). Usando a mesma ideia:
Também \cos(6k)=\cos(4k+2k)=\cos(4k)\cos(2k)-\sin(4k)\sin(2k), mas \sin(4k)=0 (como visto), então \cos(6k)=\cos(4k)\cos(2k)=(-1)^n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr). Substituindo em b_n dá
Escrevendo a série apenas com os termos não nulos. Como a_n=0 para todo n e somente os b_n com n\equiv 2\pmod{4} são não nulos, é conveniente reindexar com n=4m+2 (m=0,1,2,\dots). Para n=4m+2,
Isso é uma série senoidal (somente termos de seno) com harmônicos impares na frequência \dfrac{\pi}{2} e decaimento 1/(2m+1). É uma forma compacta e prática para usar na prova.
Passo 8
Comentário rápido sobre convergência (útil na prova): a série converge para f(x) em todos os pontos de continuidade e para a média dos limites laterais em pontos de descontinuidade (teorema clássico de Fourier). Aqui nos pontos x=0,2,4,\dots a soma vale a média dos limites laterais, isto é \tfrac{1+0}{2}=\tfrac{1}{2}.