Encontre a série de Fourier para a função periódica de período 8:
f(x)= \begin{cases}1, & 0<x<2 \\\\ 0, & 2<x<4\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função periódica com período 8 definida por pedaços no intervalo 0<x<4:
  • Para 0<x<2 vale f(x)=1.
  • Para 2<x<4 vale f(x)=0.
    O enunciado pede: encontrar a série de Fourier da função periódica de período 8.
    Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • Período T=8.
  • A função é estendida periodicamente com período 8, portanto no intervalo [0,8) temos f(x)=1 em 0<x<2 e também em 4<x<6 (cópia do padrão 0<x<2 deslocada de 4), e f(x)=0 em 2<x<4 e em 6<x<8.
  • Pontos de descontinuidade ocorrem em x=0,2,4,6,8,\dots (valores nos pontos não influenciam os coeficientes integrais).

Passo 2

Vou escrever a forma padrão da série de Fourier para uma função de período T. A série tem a forma
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\!\bigl(n\omega_0 x\bigr)+b_n\sin\!\bigl(n\omega_0 x\bigr)\right),
onde \omega_0=\dfrac{2\pi}{T} é a frequência fundamental. As fórmulas para os coeficientes são (para integração ao longo de um período):
a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\cos\!\bigl(n\omega_0 x\bigr)\,dx, \qquad b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\sin\!\bigl(n\omega_0 x\bigr)\,dx,
e
a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\,dx.
Explicando cada símbolo de modo direto:
  • T=8 é o período dado.
  • \omega_0=\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}.
  • a_0 é (duas vezes) a média da função num período; na série aparece como a_0/2.
  • a_n mede a “projeção” de f sobre \cos(n\omega_0 x).
  • b_n mede a “projeção” de f sobre \sin(n\omega_0 x).
    Vou aplicar essas fórmulas usando que, num período [0,8), f(x)=1 somente em 0<x<2 e em 4<x<6, e é zero nos outros subintervalos.

Passo 3

Cálculo de a_0. Pela fórmula:
a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\,dx=\frac{2}{8}\int_{0}^{8} f(x)\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{8} f(x)\,dx.
Como f(x)=1 em 0<x<2 e em 4<x<6, a integral em um período vale a soma das duas áreas:
\int_{0}^{8} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} 1\,dx + \int_{4}^{6} 1\,dx = 2+2=4.
Logo
a_0=\frac{1}{4}\cdot 4 = 1.
Portanto o termo constante na série é a_0/2=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Cálculo de a_n (coeficientes de cosseno). Pela fórmula com \omega_0=\dfrac{\pi}{4}:
a_n=\frac{2}{8}\int_{0}^{8} f(x)\cos\!\bigl(n\omega_0 x\bigr)\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{8} f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}x\bigr)\,dx.
Como f é 1 apenas em 0<x<2 e 4<x<6, isso vira
a_n=\frac{1}{4}\Biggl(\int_{0}^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}x\bigr)\,dx+\int_{4}^{6}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}x\bigr)\,dx\Biggr).
Calculo as integrais: com k=\dfrac{n\pi}{4},
\int_{0}^{2}\cos(kx)\,dx=\frac{\sin(2k)}{k}, \qquad \int_{4}^{6}\cos(kx)\,dx=\frac{\sin(6k)-\sin(4k)}{k}.
Somando e factorizando usando identidades trigonométricas obtemos um fator \sin(4k) multiplicando algo. Mas note que
\sin(4k)=\sin\!\bigl(4\cdot\tfrac{n\pi}{4}\bigr)=\sin(n\pi)=0
para todo inteiro n. Portanto todas as expressões se anulam e concluímos
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge 1.
Explicação intuitiva: a contribuição dos dois intervalos de largura 2 separados por 4 unidades cancela nas projeções sobre os cossenos, pois a fase dá \sin(n\pi)=0.

Passo 5

Cálculo de b_n (coeficientes de seno). Usando a mesma ideia:
b_n=\frac{1}{4}\int_{0}^{8} f(x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}x\bigr)\,dx =\frac{1}{4}\Biggl(\int_{0}^{2}\sin(kx)\,dx+\int_{4}^{6}\sin(kx)\,dx\Biggr),
com k=\dfrac{n\pi}{4}. Calculo das integrais:
\int_{0}^{2}\sin(kx)\,dx=\frac{1-\cos(2k)}{k}, \qquad \int_{4}^{6}\sin(kx)\,dx=\frac{-\cos(6k)+\cos(4k)}{k}.
Somando,
b_n=\frac{1}{4k}\bigl(1-\cos(2k)-\cos(6k)+\cos(4k)\bigr).
Agora uso identidades trigonométricas e os valores especiais de \cos em múltiplos de k. Observações úteis:
\cos(4k)=\cos\!\bigl(4\cdot\tfrac{n\pi}{4}\bigr)=\cos(n\pi)=(-1)^n, \qquad \cos(2k)=\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Também \cos(6k)=\cos(4k+2k)=\cos(4k)\cos(2k)-\sin(4k)\sin(2k), mas \sin(4k)=0 (como visto), então \cos(6k)=\cos(4k)\cos(2k)=(-1)^n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr). Substituindo em b_n
b_n=\frac{1}{4k}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-(-1)^n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)+(-1)^n\Bigr).
Agrupando:
b_n=\frac{1}{4k}\Bigl(1+(-1)^n -\bigl(1+(-1)^n\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr) =\frac{1+(-1)^n}{4k}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr).

Passo 6

Análise por casos para simplificar b_n. Avalio \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) e 1+(-1)^n dependendo de n módulo 4.
  • Se n é ímpar, então 1+(-1)^n=0. Portanto b_n=0 para todo n ímpar.
  • Se n é par, escreva n=2m. Então 1+(-1)^n=2 e \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=\cos(m\pi)=(-1)^m. Assim
b_{2m}=\frac{2}{4k}\bigl(1-(-1)^m\bigr)=\frac{1}{2k}\bigl(1-(-1)^m\bigr).
Agora veja:
  • Se m é par (isto é, n múltiplo de 4), então (-1)^m=1 e b_n=0.
  • Se m é ímpar (isto é, n\equiv 2\pmod{4}), então (-1)^m=-1 e
b_n=\frac{1}{2k}\bigl(1-(-1)\bigr)=\frac{1}{2k}\cdot 2 =\frac{1}{k}.
Lembrando k=\dfrac{n\pi}{4}, temos para n\equiv 2\pmod{4}:
b_n=\frac{1}{k}=\frac{1}{\tfrac{n\pi}{4}}=\frac{4}{n\pi}.
Resumindo:
b_n=\begin{cases} \dfrac{4}{n\pi}, & n\equiv 2\pmod{4},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 7

Escrevendo a série apenas com os termos não nulos. Como a_n=0 para todo n e somente os b_n com n\equiv 2\pmod{4} são não nulos, é conveniente reindexar com n=4m+2 ( m=0,1,2,\dots). Para n=4m+2,
b_{4m+2}=\frac{4}{(4m+2)\pi}=\frac{2}{(2m+1)\pi},
e a frequência corresponde a
n\omega_0 = (4m+2)\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{(2m+1)\pi}{2}.
Portanto a série de Fourier fica
f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2}{(2m+1)\pi}\,\sin\!\Bigl(\frac{(2m+1)\pi}{2}\,x\Bigr).
Isso é uma série senoidal (somente termos de seno) com harmônicos impares na frequência \dfrac{\pi}{2} e decaimento 1/(2m+1). É uma forma compacta e prática para usar na prova.

Passo 8

Comentário rápido sobre convergência (útil na prova): a série converge para f(x) em todos os pontos de continuidade e para a média dos limites laterais em pontos de descontinuidade (teorema clássico de Fourier). Aqui nos pontos x=0,2,4,\dots a soma vale a média dos limites laterais, isto é \tfrac{1+0}{2}=\tfrac{1}{2}.

Resposta

f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2}{(2m+1)\pi}\,\sin\!\Bigl(\frac{(2m+1)\pi}{2}\,x\Bigr)

Exercícios relacionados