expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes e condições iniciais:
com
O que se pede: expressar a solução
em função de uma integral de convolução (isto é, na forma de resposta livre + resposta forçada por convolução com um núcleo que será determinado).
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial numa equação algébrica em
. Relembre as fórmulas essenciais (aqui é importante entender cada termo):
- Definição da transformada de Laplace de uma função
:
- Transformada de derivadas (com condições iniciais):
onde
. A convolução de duas funções
e
é
e vale a propriedade de Laplace
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação dada e usando as condições iniciais (anotei
e os demais iniciais nulos), obtemos:
Substituindo as fórmulas:
onde
. Agrupando termos em
:
Logo
Isto mostra a decomposição natural em duas parcelas: a parcela que vem das condições iniciais e a parcela que vem da entrada
multiplicada pela função de transferência
.
Passo 4
A estratégia para voltar ao domínio do tempo é:
- inverter a transformada da parte devido às condições iniciais para obter a resposta livre
; - inverter a transformada de
para obter o núcleo cuja convolução com dá a resposta forçada; - então escrever
Para isso precisamos calcular inversas de transformadas envolvendo o polinômio
Observe que esse polinômio fatora como produto de quadráticos simples:
Passo 5
Calcular
.
Fazemos frações parciais escrevendo
Fazemos frações parciais escrevendo
Multiplicando por
obtemos
Igualando coeficientes:
Daí
,
. Assim
Usando
obtemos
Passo 6
Calcular
.
Fazemos frações parciais do tipo linear sobre cada quadrático:
Fazemos frações parciais do tipo linear sobre cada quadrático:
Multiplicando e igualando coeficientes (expansão e comparação) resulta no sistema
Resolvendo:
Portanto
Usando
obtemos
Passo 7
Juntando tudo, a solução do problema de valor inicial é a soma da resposta pelas condições iniciais mais a convolução do núcleo
com
:
Explicando brevemente: a primeira parcela é a resposta livre (decorrente só das condições iniciais), e a integral é a resposta forçada obtida por convolução com a função de impulso
. Essa é exatamente a forma pedida em termos de integral de convolução.