expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução.
\quad y^{(4)}+5 y^{\prime \prime}+4 y=g(t) ;\quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes e condições iniciais:
y^{(4)}+5y''+4y=g(t),
com
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0,\quad y^{(3)}(0)=0.
O que se pede: expressar a solução y(t) em função de uma integral de convolução (isto é, na forma de resposta livre + resposta forçada por convolução com um núcleo que será determinado).

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial numa equação algébrica em s. Relembre as fórmulas essenciais (aqui é importante entender cada termo):
  • Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Transformada de derivadas (com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y^{(3)}(t)\}=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s y'(0)-y''(0),
\mathcal{L}\{y^{(4)}(t)\}=s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s y''(0)-y^{(3)}(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s). A convolução de duas funções h e g é
(h*g)(t)=\int_{0}^{t} h(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau,
e vale a propriedade de Laplace
\mathcal{L}\{h*g\}(s)=\mathcal{L}\{h\}(s)\cdot \mathcal{L}\{g\}(s).

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação dada e usando as condições iniciais (anotei y(0)=1 e os demais iniciais nulos), obtemos:
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}+5\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{g\}(s).
Substituindo as fórmulas:
\bigl(s^{4}Y(s)-s^{3}\bigr)+5\bigl(s^{2}Y(s)-s\bigr)+4Y(s)=G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s). Agrupando termos em Y(s):
\bigl(s^{4}+5s^{2}+4\bigr)Y(s)=G(s)+s^{3}+5s.
Logo
Y(s)=\frac{s^{3}+5s}{s^{4}+5s^{2}+4}+\frac{G(s)}{s^{4}+5s^{2}+4}.
Isto mostra a decomposição natural em duas parcelas: a parcela que vem das condições iniciais e a parcela que vem da entrada g(t) multiplicada pela função de transferência 1/(s^{4}+5s^{2}+4).

Passo 4

A estratégia para voltar ao domínio do tempo é:
  • inverter a transformada da parte devido às condições iniciais para obter a resposta livre y_{\text{ic}}(t);
  • inverter a transformada de 1/(s^{4}+5s^{2}+4) para obter o núcleo h(t) cuja convolução com g(t) dá a resposta forçada;
  • então escrever
y(t)=y_{\text{ic}}(t)+(h*g)(t)=y_{\text{ic}}(t)+\int_{0}^{t} h(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau.
Para isso precisamos calcular inversas de transformadas envolvendo o polinômio
s^{4}+5s^{2}+4.
Observe que esse polinômio fatora como produto de quadráticos simples:
s^{4}+5s^{2}+4=(s^{2}+1)(s^{2}+4).

Passo 5

Calcular h(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{4}+5s^{2}+4}\right\}.
Fazemos frações parciais escrevendo
\frac{1}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s^{2}+1}+\frac{B}{s^{2}+4}.
Multiplicando por (s^{2}+1)(s^{2}+4) obtemos
1=A(s^{2}+4)+B(s^{2}+1)=(A+B)s^{2}+(4A+B).
Igualando coeficientes:
A+B=0,\qquad 4A+B=1.
Daí A=\tfrac{1}{3}, B=-\tfrac{1}{3}. Assim
\frac{1}{s^{4}+5s^{2}+4}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s^{2}+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.
Usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+a^{2}}\}=\tfrac{1}{a}\sin(at) obtemos
h(t)=\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\frac{1}{3}\sin t-\frac{1}{6}\sin(2t).

Passo 6

Calcular y_{\text{ic}}(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s^{3}+5s}{s^{4}+5s^{2}+4}\right\}.
Fazemos frações parciais do tipo linear sobre cada quadrático:
\frac{s^{3}+5s}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{A s+B}{s^{2}+1}+\frac{C s+D}{s^{2}+4}.
Multiplicando e igualando coeficientes (expansão e comparação) resulta no sistema
A+C=1,\quad B+D=0,\quad 4A+C=5,\quad 4B+D=0.
Resolvendo:
A=\frac{4}{3},\quad C=-\frac{1}{3},\quad B=0,\quad D=0.
Portanto
\frac{s^{3}+5s}{s^{4}+5s^{2}+4}=\frac{4/3\; s}{s^{2}+1}-\frac{1/3\; s}{s^{2}+4}.
Usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\}=\cos(at) obtemos
y_{\text{ic}}(t)=\frac{4}{3}\cos t-\frac{1}{3}\cos(2t).

Passo 7

Juntando tudo, a solução do problema de valor inicial é a soma da resposta pelas condições iniciais mais a convolução do núcleo h com g:
y(t)=\frac{4}{3}\cos t-\frac{1}{3}\cos(2t)+\int_{0}^{t}\left(\frac{1}{3}\sin(t-\tau)-\frac{1}{6}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\right)g(\tau)\,d\tau.
Explicando brevemente: a primeira parcela é a resposta livre (decorrente só das condições iniciais), e a integral é a resposta forçada obtida por convolução com a função de impulso h(t). Essa é exatamente a forma pedida em termos de integral de convolução.

Resposta

y(t)=\frac{4}{3}\cos t-\frac{1}{3}\cos(2t)+\int_{0}^{t}\left(\frac{1}{3}\sin(t-\tau)-\frac{1}{6}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\right)g(\tau)\,d\tau

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