e pede: determinar a série de Fourier de f nesse intervalo.
Informações importantes extraídas do enunciado:
A função está definida em (-\pi,\pi) por f(x)=x.
Quer-se a série de Fourier (a representação periódica com período 2\pi) associada a essa função.
Não há outros dados (como valores em \pm\pi), então assumiremos a expansão padrão em série de Fourier para função definida em (-\pi,\pi).
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas que definem a série de Fourier de uma função f de período 2\pi (essa é a “receita” que usamos na prova). Uma função f tem série de Fourier dada por
Explicando: a_0/2 é o termo constante da série; a_n multiplica os cossenos de frequência n; b_n multiplica os senos. Para encontrar a série, é só calcular essas integrais para f(x)=x.
Passo 3
Observação sobre paridade (isso simplifica muito os cálculos): a função f(x)=x é ímpar, ou seja f(-x)=-f(x). Propriedades úteis:
Produto de uma função ímpar com \cos(nx) (que é par) é ímpar; integral de função ímpar em [-\pi,\pi] é 0.
Produto de uma função ímpar com \sin(nx) (que é ímpar) é par; nesse caso a integral pode ser diferente de zero.
Usando isso, já podemos concluir sem calcular integras explicitamente:
Também é útil saber (para provas): a série converge para f(x)=x em todo x\in(-\pi,\pi). Nos pontos x=\pm\pi converge para a média dos limites laterais, que é 0.