Determine a série de Fourier de
f(x)=x, \quad-\pi<x<\pi .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x,\qquad -\pi<x<\pi
e pede: determinar a série de Fourier de f nesse intervalo.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida em (-\pi,\pi) por f(x)=x.
  • Quer-se a série de Fourier (a representação periódica com período 2\pi) associada a essa função.
  • Não há outros dados (como valores em \pm\pi), então assumiremos a expansão padrão em série de Fourier para função definida em (-\pi,\pi).

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas que definem a série de Fourier de uma função f de período 2\pi (essa é a “receita” que usamos na prova). Uma função f tem série de Fourier dada por
f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right),
onde os coeficientes a_0,a_n,b_n são calculados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad n=1,2,\dots
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n=1,2,\dots
Explicando: a_0/2 é o termo constante da série; a_n multiplica os cossenos de frequência n; b_n multiplica os senos. Para encontrar a série, é só calcular essas integrais para f(x)=x.

Passo 3

Observação sobre paridade (isso simplifica muito os cálculos): a função f(x)=x é ímpar, ou seja f(-x)=-f(x). Propriedades úteis:
  • Produto de uma função ímpar com \cos(nx) (que é par) é ímpar; integral de função ímpar em [-\pi,\pi] é 0.
  • Produto de uma função ímpar com \sin(nx) (que é ímpar) é par; nesse caso a integral pode ser diferente de zero.
Usando isso, já podemos concluir sem calcular integras explicitamente:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\,dx=0,
pois x é ímpar. E para a_n:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\cos(nx)\,dx=0
para todo n, pois x\cos(nx) é ímpar. Assim todos os coeficientes a_0 e a_n são zero — a série terá apenas termos com seno.

Passo 4

Agora calculamos b_n. Pela definição:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Como x\sin(nx) é função par (produto de duas ímpares), podemos escrever a integral como o dobro da integral de 0 a \pi:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
A tarefa agora é calcular I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx. Vou resolver I_n por integração por partes.

Passo 5

Relembrando integração por partes: se u=u(x) e dv=v'(x)\,dx, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=x (então du=dx) e dv=\sin(nx)\,dx (então v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}). Aplicando:
I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left. -x\frac{\cos(nx)}{n} \right|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n}\,dx.
Calcule cada parte cuidadosamente:
Primeiro termo:
\left.-x\frac{\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} - \left( -0\cdot\frac{\cos(0)}{n}\right) = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.
Lembrando \cos(n\pi)=(-1)^n, isso é -\dfrac{\pi(-1)^n}{n}.
Segundo termo:
\int_{0}^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n}\,dx = \frac{1}{n}\left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} = \frac{1}{n^2}\big(\sin(n\pi)-\sin(0)\big)=0,
pois \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n.
Logo
I_n = -\frac{\pi(-1)^n}{n}.

Passo 6

Voltando para b_n:
b_n=\frac{2}{\pi}I_n=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = -\frac{2(-1)^n}{n}.
Podemos reescrever de forma mais bonita:
b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.
Portanto os coeficientes b_n estão prontos e todos os a_n são zero.

Passo 7

Montando a série de Fourier com os coeficientes encontrados:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
Uma forma equivalente, extraindo o 2, é
f(x)\sim 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n}.
Comentário prático: os primeiros termos são
f(x)\approx 2\left(\sin x - \tfrac{1}{2}\sin 2x + \tfrac{1}{3}\sin 3x - \cdots\right).
Também é útil saber (para provas): a série converge para f(x)=x em todo x\in(-\pi,\pi). Nos pontos x=\pm\pi converge para a média dos limites laterais, que é 0.

Resposta

f(x)=x\sim 2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n}.

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