Encontre a série de Fourier das funções a seguir: f(x) = { cos(2x), x in [0, pi] ; f(x + pi) = f(x) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para a função , que é definida por:
Isso significa que a função é periódica com período e está baseada em funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier para funções periódicas e calcular os coeficientes necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica com período pode ser escrita como uma soma de senos e cossenos:
No nosso caso, , então a série fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função ao longo de um período e é dado por:
Substituindo :
Integrando:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os coeficientes , que são dados por:
Substituindo :
Usando a identidade trigonométrica:
Temos:
Integrando cada termo:
Avaliando nos limites:
Portanto, para todo .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes , que são dados por:
Substituindo :
Usando a identidade trigonométrica:
Temos:
Integrando cada termo:
Avaliando nos limites:
Sabemos que para qualquer inteiro , então:
Portanto, para todo .

Resposta

A série de Fourier da função é:

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