Encontre a série de Fourier das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para a função
, que é definida por:
Isso significa que a função é periódica com período
e está baseada em funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Fourier para funções periódicas e calcular os coeficientes necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica com período
pode ser escrita como uma soma de senos e cossenos:
No nosso caso,
, então a série fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o coeficiente
. Esse coeficiente representa a média da função ao longo de um período e é dado por:
Substituindo
:
Integrando:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os coeficientes
, que são dados por:
Substituindo
:
Usando a identidade trigonométrica:
Temos:
Integrando cada termo:
Avaliando nos limites:
Portanto,
para todo
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que são dados por:
Substituindo
:
Usando a identidade trigonométrica:
Temos:
Integrando cada termo:
Avaliando nos limites:
Sabemos que
para qualquer inteiro
, então:
Portanto,
para todo
.
Resposta
A série de Fourier da função
é: