Encontre a série de Fourier das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier de uma função
que é igual a 1 no intervalo
e se repete a cada 4 unidades, ou seja,
.
Vamos usar conceitos de séries de Fourier para funções periódicas. Precisamos determinar os coeficientes que compõem a série que representa essa função constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período
pode ser escrita como:
Onde:
-
é o coeficiente constante. -
e são os coeficientes das funções cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Como nossa função
é constante e igual a 1 em todo o intervalo, vamos calcular
:
Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
e
:
Porque
e
.
Passo 5
De forma semelhante, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
e
:
Novamente, porque
e
, então
.
Passo 6
Então, todos os coeficientes
e
são zero. Isso significa que a série de Fourier da função
é simplesmente o termo constante
.
Resposta
A série de Fourier da função dada é: