Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & 0<x<1 \\\\ 0 & 1<x<2\end{array}\right. série em senos, periodo 2.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier “em senos” de período 2\) para
\[f(x)= \begin{cases} 1,&0<x<1,\\\\ 0,&1<x<2, \end{cases}
e depois esboçar o gráfico da função à qual essa série converge.
Conteúdo: série de Fourier de período (2] com apenas termos de seno (odd extension).
Passo 2
Para obter uma série de senos de período 2 definimos L=1 e escrevemos
A série converge para a extensão ímpar e periódica de f\) de período \(2\). Chamando-a \(g(x)\), num período representamos:
\[g(x)= \begin{cases} 1,&0<x<1,\\\\ 0,&1<x<2, \end{cases} \quad g(x+2)=g(x),
e em pontos de descontinuidade (ex.: x=0,1,2,\dots\]) vale o valor médio, p.ex. \(g(1)=\tfrac12.
Em três períodos, digamos em -3<x<3, o gráfico será um trem de pulsos:
para cada intervalo (2m,2m+1) vale +1, em (2m+1,2m+2) vale 0; para x<0 aplica-se a simetria ímpar (em (-1,0) vale -1, em (-2,-1) vale 0, etc.).