Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & 0<x<1 \\\\ 0 & 1<x<2\end{array}\right. série em senos, periodo 2.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier “em senos” de período 2\) para \[f(x)= \begin{cases} 1,&0<x<1,\\\\ 0,&1<x<2, \end{cases}
e depois esboçar o gráfico da função à qual essa série converge.
Conteúdo: série de Fourier de período (2] com apenas termos de seno (odd extension).

Passo 2

Para obter uma série de senos de período 2 definimos L=1 e escrevemos
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \,\sin\bigl(n\pi x/L\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty} b_n \,\sin(n\pi x).
Como são apenas senos, temos a_0=0 e a_n=0. Os coeficientes b_n vêm de
b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,\sin\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx =2\int_{0}^{1} f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 3

Na integral acima, f(x)=1 em (0,1) e zero em (1,2). Logo
b_n = 2\int_{0}^{1}1\cdot\sin(n\pi x)\,dx =2\Bigl[-\tfrac{1}{n\pi}\cos(n\pi x)\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(-\frac{\cos(n\pi)-\cos(0)}{n\pi}\Bigr).

Passo 4

Como \cos(n\pi)=(-1)^n e \cos(0)=1,
b_n = \frac{2}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Para n par temos 1-(-1)^n=0, para n ímpar 1-(-1)^n=2. Assim
b_{2k}=0, \quad b_{2k-1}=\frac{2\cdot2}{(2k-1)\pi}=\frac{4}{(2k-1)\pi}.

Passo 5

A série de Fourier “em senos” resultante é
f(x)\sim \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(2k-1)\pi}\,\sin\bigl((2k-1)\pi x\bigr).

Passo 6

A série converge para a extensão ímpar e periódica de f\) de período \(2\). Chamando-a \(g(x)\), num período representamos: \[g(x)= \begin{cases} 1,&0<x<1,\\\\ 0,&1<x<2, \end{cases} \quad g(x+2)=g(x),
e em pontos de descontinuidade (ex.: x=0,1,2,\dots\]) vale o valor médio, p.ex. \(g(1)=\tfrac12.
Em três períodos, digamos em -3<x<3, o gráfico será um trem de pulsos:
para cada intervalo (2m,2m+1) vale +1, em (2m+1,2m+2) vale 0; para x<0 aplica-se a simetria ímpar (em (-1,0) vale -1, em (-2,-1) vale 0, etc.).

Resposta

f(x)\sim \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(2k-1)\pi}\,\sin\bigl((2k-1)\pi x\bigr).
Gráfico de convergência: extensão periódica de período 2\) com \[g(x)= \begin{cases} 1,&0<x<1,\\\\ 0,&1<x<2, \end{cases} \quad g(x+2)=g(x),
e valores de meio-pulo ((\tfrac12]) nas descontinuidades.

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