Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & 0<x<1 \\\\ 0 & 1<x<2\end{array}\right. série em cosenos, periodo 2.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier em cosenos de período T=2\) para a função periódica
\[f(x)= \begin{cases} 1, & 0<x<1,\\\\ 0, & 1<x<2, \end{cases}
e em seguida esboçar o gráfico da função à qual essa série converge num intervalo de três períodos.
Para obter a série em cosenos usamos a forma
Logo, todos os coeficientes A_{n} com n\ge1 são nulos, e a série em cosenos se reduz a
f(x)\sim A_{0}=\frac12.
Passo 5
A série converge à parte par da extensão periódica de f. Como a extensão par de f é constante igual a \tfrac12, ao longo de três períodos (por exemplo em x\in[-3,3]) o gráfico é apenas a reta horizontal
y=\frac12.
Resposta
\boxed{f(x)=\frac12,\quad\text{o gráfico ao longo de três períodos é a reta }y=\tfrac12.}áêíé