Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & 0<x<1 \\\\ 0 & 1<x<2\end{array}\right. série em cosenos, periodo 2.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier em cosenos de período T=2\) para a função periódica \[f(x)= \begin{cases} 1, & 0<x<1,\\\\ 0, & 1<x<2, \end{cases}
e em seguida esboçar o gráfico da função à qual essa série converge num intervalo de três períodos.
Para obter a série em cosenos usamos a forma
f(x)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\bigl(n\omega_{0}x\bigr),
com (\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}=\pi],
A_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)\,dx, \quad A_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)\cos(n\omega_{0}x)\,dx.

Passo 2

Calculamos o coeficiente A_{0}:
A_{0} =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\Bigl(\int_{0}^{1}1\,dx+\int_{1}^{2}0\,dx\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot1 =\frac{1}{2}.

Passo 3

Calculamos A_{n} para n\ge1:
A_{n} =\frac{2}{2}\int_{0}^{2}f(x)\cos(n\pi x)\,dx =\int_{0}^{1}\cos(n\pi x)\,dx =\left[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{1} =\frac{\sin(n\pi)}{n\pi}-0 =0,
pois \sin(n\pi)=0 para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 4

Logo, todos os coeficientes A_{n} com n\ge1 são nulos, e a série em cosenos se reduz a
f(x)\sim A_{0}=\frac12.

Passo 5

A série converge à parte par da extensão periódica de f. Como a extensão par de f é constante igual a \tfrac12, ao longo de três períodos (por exemplo em x\in[-3,3]) o gráfico é apenas a reta horizontal
y=\frac12.

Resposta

\boxed{f(x)=\frac12,\quad\text{o gráfico ao longo de três períodos é a reta }y=\tfrac12.}áêíé

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