Seja
uma função diferenciável tal que
, para todo
.
(a) Mostre que
é uma função injetiva.
(b) Mostre que ou
, para todo
, ou
, para todo
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que ou
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável e que
Precisamos mostrar duas coisas:
(a) que é injetiva, usando o Teorema de Rolle;
(b) que não muda de sinal em
, recorrendo à propriedade de Darboux para derivadas.
(a) que
(b) que
Passo 2
Prova da injetividade. Suponha, por absurdo, que existam
tais que
Como
é diferenciável em
, o Teorema de Rolle garante a existência de
tal que
Isso contraria a hipótese
para todo
. Logo, não pode haver
com
, e assim
é injetiva.
Passo 3
Prova de que
tem sinal constante. Como derivadas satisfazem o Teorema do Valor Intermediário (Darboux), não podem ocorrer saltos de sinal em
. Se existissem
com
e
, então pelo Teorema de Darboux haveria
com
o que é impossível. Portanto, não há pontos em que
seja positiva e negativa simultaneamente.
Passo 4
Como
em todo
e não pode mudar de sinal, existem apenas duas possibilidades:
- ou
para todo , - ou
para todo .
Resposta
(a)
é injetiva.
(b) Ou para todo
, ou
para todo
.
(b) Ou