Encontre a série de Fourier de 1, & -1 no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a série de Fourier da função $ f(x) $ definida no intervalo f(x) . A função é igual a 1 quando $ -1 < x < 0 $ e igual a $ x $ quando $ 0 \leq x < 1 $. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que permitem representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série, ou seja, $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no período. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
No nosso caso, o período $ T = 2 $, então:
a0
Calculando as integrais:
a0 = 1T integral-T/2^T/2 f(x) , dx
T = 2
Então:
a0 = 12 ( integral-1^0 1 , dx + integral0^1 x , dx )

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que multiplicam os cossenos na série de Fourier. A fórmula para $ a_n $ é:
an
Onde $ L = T/2 = 1 $, então:
an
Vamos calcular cada integral separadamente. A primeira integral é:
an = 1T integral-T/2^T/2 f(x) cos( npi xL ) dx
Sabemos que $ \sin(n\pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ n $, então essa parte é zero.
Agora, a segunda integral:
L = T/2 = 1
Vamos resolver por partes, usando integração por partes:
an = 12 ( integral-1^0 1 cdot cos(npi x) , dx + integral0^1 x cos(npi x) , dx )
integral-1^0 cos(npi x) , dx = [ sin(npi x)npi ]-1^0 = sin(0)npi - sin(-npi)npi = 0 - ( -sin(npi)npi ) = sin(npi)npi
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
sin(npi) = 0
Calculando as partes:
n
integral0^1 x cos(npi x) , dx
Então, o coeficiente $ a_n $ fica:
u = x Rightarrow du = dx

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que multiplicam os senos na série de Fourier. A fórmula para $ b_n $ é:
bn
Com $ L = 1 $ e $ T = 2 $:
bn
Vamos resolver cada integral. A primeira integral é:
bn = 1T integral-T/2^T/2 f(x) sin( npi xL ) dx
A segunda integral:
L = 1
Vamos usar integração por partes novamente:
T = 2
bn = 12 ( integral-1^0 1 cdot sin(npi x) , dx + integral0^1 x sin(npi x) , dx )
Aplicando:
integral-1^0 sin(npi x) , dx = [ -cos(npi x)npi ]-1^0 = -cos(0)npi + cos(-npi)npi = -1npi + (-1)^nnpi = (-1)^n - 1npi
Calculando:
integral0^1 x sin(npi x) , dx
u = x Rightarrow du = dx
Então:
dv = sin(npi x) dx Rightarrow v = -cos(npi x)npi
Portanto, o coeficiente $ b_n $ fica:
integral0^1 x sin(npi x) , dx = -x cos(npi x)npi |0^1 + integral0^1 cos(npi x)npi , dx

Resposta

A série de Fourier da função $ f(x) $ no intervalo f(x) é dada por:
-1 < x < 1

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