Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a série de Fourier da função $ f(x) $ definida no intervalo . A função é igual a 1 quando $ -1 < x < 0 $ e igual a $ x $ quando $ 0 \leq x < 1 $. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que permitem representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série, ou seja, $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no período. A fórmula para $ a_0 $ é:
No nosso caso, o período $ T = 2 $, então:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que multiplicam os cossenos na série de Fourier. A fórmula para $ a_n $ é:
Onde $ L = T/2 = 1 $, então:
Vamos calcular cada integral separadamente. A primeira integral é:
Sabemos que $ \sin(n\pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ n $, então essa parte é zero.
Agora, a segunda integral:
Vamos resolver por partes, usando integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Calculando as partes:
n
integral0^1 x cos(npi x) , dx
Então, o coeficiente $ a_n $ fica:
u = x Rightarrow du = dx
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que multiplicam os senos na série de Fourier. A fórmula para $ b_n $ é:
bn
Com $ L = 1 $ e $ T = 2 $:
bn
Vamos resolver cada integral. A primeira integral é: