Calcule o volume dos sólidos de revolução a seguir.
Nos itens de d) à h), determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos da região limitada pelos gráficos das equações dadas.
x=y^2+1, x=12, y=-2 e y=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x da região limitada pelas curvas x = y² + 1, x = 1/2 e pelas retas y = –2 e y = 2. O conteúdo aqui é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois as fronteiras estão dadas em função de y.

Passo 2

A região no plano xy, para cada y entre –2 e 2, é o segmento horizontal de x₁ = 1/2 até x₂ = y² + 1. Ao girar em torno do eixo x, horizontais geram cascas cilíndricas de raio igual à distância |y| ao eixo e “altura” igual ao comprimento desse segmento.

Passo 3

Pelo método das cascas, o volume elementar é
dV = 2picdot(raio)cdot(a
Os limites de integração são y = –2 até y = 2.

Passo 4

A integranda |y|(y² + 1/2) é par, então podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
V = 2pi integral-2^2 |y|(y^2+tfrac12),dy = 4pi integral0^2 y,(y^2+tfrac12),dy

Passo 5

Agora basta avaliar a integral:
integral0^2l(y^3 + tfrac12 yr)dy = l[tfracy^44 + tfracy^24r]0^2 = l(4 + 1r) = 5
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V = 4pi cdot 5 = 20pi

Resposta

20pi

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