Calcule o volume dos sólidos de revolução a seguir.
Nos itens de d) à h), determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos da região limitada pelos gráficos das equações dadas.
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Nos itens de d) à h), determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos da região limitada pelos gráficos das equações dadas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x da região limitada pelas curvas x = y² + 1, x = 1/2 e pelas retas y = –2 e y = 2. O conteúdo aqui é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois as fronteiras estão dadas em função de y.
Passo 2
A região no plano xy, para cada y entre –2 e 2, é o segmento horizontal de x₁ = 1/2 até x₂ = y² + 1. Ao girar em torno do eixo x, horizontais geram cascas cilíndricas de raio igual à distância |y| ao eixo e “altura” igual ao comprimento desse segmento.
Passo 3
Pelo método das cascas, o volume elementar é
Os limites de integração são y = –2 até y = 2.
Passo 4
A integranda |y|(y² + 1/2) é par, então podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
Passo 5
Agora basta avaliar a integral:
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