Seja a função
(Equação 1)
e derivando a Equação 1 temos que
(Equação 2).
Usando a Equação 2 assinale a alternativa correta:
(Equação 1)
e derivando a Equação 1 temos que
Usando a Equação 2 assinale a alternativa correta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $, que é igual a $ 1 + x + x^2 + x^3 + ··· $. Isso é uma série geométrica. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e derivadas de séries. Nosso objetivo é usar a segunda equação dada para calcular a soma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação 2: $ \frac{1}{(1 - x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + ··· = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} $. Isso veio da derivação da função $ f(x) $. A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ nos dá essa nova série onde cada termo é multiplicado por seu índice $ n $.
Passo 3
Queremos achar $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} $. Vamos relacionar isso com a série da Equação 2. Observe que se substituirmos $ x = \frac{1}{2} $ na série derivada, teremos:
Passo 4
Vamos calcular o lado esquerdo da equação:
Passo 5
Agora, olhe para o lado direito:
Mas queremos encontrar $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} $, que é igual a:
Resposta
A soma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} $ é igual a 2.