Seja a função f(x)=11-x=1+x+x^2+x^3+ldots=sumn=0^infty x^n
(Equação 1)
e derivando a Equação 1 temos que
1(1-x)^2=1+2 x+3 x^2+ldots=sumn=1^infty n x^n-1 (Equação 2).
Usando a Equação 2 assinale a alternativa correta:
sumn=1^infty n2^n=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x) = \frac{1}{1 - x} $, que é igual a $ 1 + x + x^2 + x^3 + ··· $. Isso é uma série geométrica. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e derivadas de séries. Nosso objetivo é usar a segunda equação dada para calcular a soma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação 2: $ \frac{1}{(1 - x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + ··· = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} $. Isso veio da derivação da função $ f(x) $. A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ nos dá essa nova série onde cada termo é multiplicado por seu índice $ n $.

Passo 3

Queremos achar $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} $. Vamos relacionar isso com a série da Equação 2. Observe que se substituirmos $ x = \frac{1}{2} $ na série derivada, teremos:
sumn=1^infty n2^n

Passo 4

Vamos calcular o lado esquerdo da equação:
1(1 - 12)^2 = 1( 12 )^2 = 114 = 4

Passo 5

Agora, olhe para o lado direito:
sumn=1^infty n ( 12 )^n-1 = 4
Mas queremos encontrar $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} $, que é igual a:
sumn=1^infty n2^n

Resposta

A soma $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} $ é igual a 2.

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