Encontre a série de Fourier de 0, & -2 no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Fourier da função $ f(x) $ no intervalo f(x) . Isso faz parte do estudo das séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como a soma de funções senoidais (seno e cosseno). Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Como a função está definida de -2 a 2, o período T é 4 (de -2 a 2).

Passo 3

A série de Fourier para uma função periódica de período T é dada por:
f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(npi xL) + bn sin(npi xL) ]
onde $ L = \frac{T}{2} = 2 $ no nosso caso.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
a0
Substituindo $ L = 2 $:
a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx

Passo 5

Calculando as integrais:
integral-2^0 0 , dx = 0
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12
integral1^2 1 , dx = [x]1^2 = 2 - 1 = 1
Então,
a0 = 12 ( 0 + 12 + 1 ) = 12 times 32 = 34

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. Eles são dados por:
an
Substituindo $ L = 2 $:
an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) , dx
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), os coeficientes $ b_n $ serão zero. Portanto, vamos focar nos $ a_n $.

Passo 7

Vamos calcular as integrais separadamente:
  1. integral0^1 x cos(npi x2) dx
Usando integração por partes, onde $ u = x $ e $ dv = \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx $.
Depois de resolver, você encontra:
u = x
Avaliado de 0 a 1, isso resulta em termos que envolvem senos e cossenos.
  1. dv = cos(npi x2) dx

Passo 8

Após calcular essas integrais e simplificar, obtemos os coeficientes $ a_n $ em termos de senos e cossenos que variam com $ n $.

Passo 9

Como os $ b_n $ são zero devido à simetria da função, a série de Fourier fica apenas com termos de cosseno.

Resposta

A série de Fourier da função $ f(x) $ no intervalo f(x) é dada por:
-2 < x < 2
onde os coeficientes $ a_n $ são calculados conforme os passos acima.

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