Seja a função f(x)=11-x=1+x+x^2+x^3+ldots=sumn=0^infty x^n
(Equação 1)
e derivando a Equação 1 temos que
1(1-x)^2=1+2 x+3 x^2+ldots=sumn=1^infty n x^n-1 (Equação 2).
Usando a Equação 2 assinale a alternativa correta:
sumn=1^infty n2^n=14

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a série sumn=1^infty n2^n usando a derivada da série geométrica e verificar se ela é igual a tfrac14. O conteúdo principal é séries de potências e uso de derivadas para obter somas de séries.

Passo 2

Partimos da Equação 2, que diz que sumn=1^infty n x^n-1 = 1(1-x)^2. Essa fórmula vem de derivar termo a termo a série sumn=0^infty x^n.
Para obter sumn=1^infty n x^n, basta multiplicar ambos os lados da Equação 2 por x:
sumn=1^infty n x^n = x cdot 1(1-x)^2 = x(1-x)^2
Agora, fazemos x = tfrac12 para calcular a série em questão:
sumn=1^infty n2^n = tfrac12l(1-tfrac12r)^2 = tfrac12l(tfrac12r)^2 = tfrac12tfrac14 = 2
Como o valor correto da soma é 2 e não tfrac14, a afirmativa dada está incorreta.

Resposta

A soma vale 2, portanto a afirmativa “ sumn=1^infty n2^n=tfrac14” é falsa.

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