A expansão da função
em série de potências é
(Equação 1)
e derivando a Equação 1 temos que
(Equação 2).
Usando a equação 2 assinale a alternativa correta:
e derivando a Equação 1 temos que
Usando a equação 2 assinale a alternativa correta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre séries de potências e derivação de séries. A gente tem a função $ f(x) = x^{3} e^{-x} $ expandida em série de potências na Equação 1. Precisamos usar essa expansão derivada (Equação 2) para calcular uma soma infinita específica. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação 1:
Aqui, expandimos $ x^{3} e^{-x} $ em uma série de potências usando a série de Taylor para $ e^{-x} $. Cada termo da série é $ (-1)^n \frac{x^{n+3}}{n!} $.
Passo 3
Agora, vamos derivar a Equação 1 em relação a $ x $ para obter a Equação 2:
A derivada de $ x^{3} e^{-x} $ usa a regra do produto, resultando em $ 3x^{2} e^{-x} - x^{3} e^{-x} $. A série derivada tem agora $ x^{n+2} $ no numerador.
Passo 4
O exercício pede para calcular a soma:
Vamos comparar isso com a Equação 2. Observamos que a série na Equação 2 começa em $ n=0 $ e nosso objetivo começa em $ n=3 $. Então, precisamos ajustar os índices.
Passo 5
Para ajustar, escrevemos a Equação 2 até $ n=2 $ e subtraímos desse total:
Queremos isolar a soma de $ n=3 $. Assim:
Passo 6
Sabemos que $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n+3}{n!} $ é a derivada avaliada em $ x=1 $:
Agora, calculamos a soma dos primeiros três termos ($ n=0,1,2 $):
Resposta
Portanto, a soma desejada é: