A expansão da função f(x)=x^3 e^-x em série de potências é f(x)=x^3 e^-x=sumn=0^infty(-1)^n x^n+3n! (Equação 1)
e derivando a Equação 1 temos que
3 x^2 e^-x-x^3 e^-x=sumn=0^infty(-1)^n (n+3) x^n+2n! (Equação 2).
Usando a equação 2 assinale a alternativa correta:
sumn=3^infty(-1)^n n+3n!=2e+32

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre séries de potências e derivação de séries. A gente tem a função $ f(x) = x^{3} e^{-x} $ expandida em série de potências na Equação 1. Precisamos usar essa expansão derivada (Equação 2) para calcular uma soma infinita específica. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação 1:
f(x) = x^3 e^-x = sumn=0^infty (-1)^n x^n+3n!
Aqui, expandimos $ x^{3} e^{-x} $ em uma série de potências usando a série de Taylor para $ e^{-x} $. Cada termo da série é $ (-1)^n \frac{x^{n+3}}{n!} $.

Passo 3

Agora, vamos derivar a Equação 1 em relação a $ x $ para obter a Equação 2:
x
A derivada de $ x^{3} e^{-x} $ usa a regra do produto, resultando em $ 3x^{2} e^{-x} - x^{3} e^{-x} $. A série derivada tem agora $ x^{n+2} $ no numerador.

Passo 4

O exercício pede para calcular a soma:
sumn=3^infty (-1)^n n+3n!
Vamos comparar isso com a Equação 2. Observamos que a série na Equação 2 começa em $ n=0 $ e nosso objetivo começa em $ n=3 $. Então, precisamos ajustar os índices.

Passo 5

Para ajustar, escrevemos a Equação 2 até $ n=2 $ e subtraímos desse total:
n=2
Queremos isolar a soma de $ n=3 $. Assim:
sumn=0^infty (-1)^n n+3n! = sumn=3^infty (-1)^n n+3n! + sumn=0^2 (-1)^n n+3n!

Passo 6

Sabemos que $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n+3}{n!} $ é a derivada avaliada em $ x=1 $:
sumn=0^infty (-1)^n n+3n!
Agora, calculamos a soma dos primeiros três termos ($ n=0,1,2 $):
x=1

Resposta

Portanto, a soma desejada é:
sumn=3^infty (-1)^n n+3n! = 2e + 32

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