Encontre a série de Fourier de -1, & -pi no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função $ f(x) $ definida no intervalo f(x) , onde:
-pi < x < pi
A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas usando somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: f(x)= -1, & -pi < x < 0 2, & 0 <= x < pi , a0 e an.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente a0, que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx
Vamos calcular isso dividindo a integral nos dois intervalos onde a função está definida:
a0 = 1pi ( integral-pi^0 (-1) , dx + integral0^pi 2 , dx )
Calculando as integrais:
a0 = 1pi ( (-1)(0 - (-pi)) + 2(pi - 0) ) = 1pi (-pi + 2pi) = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes an, que correspondem aos termos de cosseno na série. A fórmula é:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
Dividindo novamente nos dois intervalos:
an = 1pi ( integral-pi^0 (-1) cos(nx) , dx + integral0^pi 2 cos(nx) , dx )
Observamos que a função é ímpar em relação ao cosseno, o que nos leva a:
an = 1pi ( -2n sin(nx) |-pi^0 + 4n sin(nx) |0^pi ) = 0
Então, todos os an são iguais a zero.

Passo 4

Agora, vamos para os coeficientes bn, que são os termos de seno na série. A fórmula é:
bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx
Dividindo nos dois intervalos:
bn = 1pi ( integral-pi^0 (-1) sin(nx) , dx + integral0^pi 2 sin(nx) , dx )
Calculando as integrais:
bn = 1pi ( 1n cos(nx) |-pi^0 - 2n cos(nx) |0^pi )
Após simplificação e considerando que cos(npi) = (-1)^n, encontramos:
bn = 4n 1 - (-1)^npi

Passo 5

Com os coeficientes calculados, podemos montar a série de Fourier:
f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(nx) + bn sin(nx) )
Substituindo os valores encontrados:
f(x) = 12 + sumn=1^infty ( 0 cdot cos(nx) + 4n pi (1 - (-1)^n) sin(nx) )
Simplificando:
f(x) = 12 + 4pi sumn=1,3,5,ldots^infty 1n sin(nx)

Resposta

A série de Fourier da função f(x) no intervalo -pi < x < pi é:
f(x) = 12 + 4pi ( sin(x) + 13 sin(3x) + 15 sin(5x) + cdots )

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