Considere a função
, e assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente analisar a função $ f(x) = x^{2} \tan{-1}(x{4}) $ e verificar se a expressão em série dada está correta. A matéria envolvida aqui é Séries de Maclaurin e a expansão em série da função arctangente. Vamos precisar saber como expandir a função $ \tan^{-1}(x) $ em série e depois ajustar pra nossa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a expansão em série de $ \tan^{-1}(x) $. Sabemos que:
Isso vale para $ |x| \leq 1 $. Esse é o desenvolvimento da série de potências para a função arco-tangente.
Passo 3
Agora, na nossa função $ f(x) = x^{2} \tan{-1}(x{4}) $, temos o arco-tangente de $ x^{4} $. Vamos substituir $ x $ por $ x^{4} $ na série que acabamos de lembrar:
Passo 4
Agora, multiplicamos essa série por $ x^{2} $ para obter $ f(x) $:
Aqui, somamos os expoentes de $ x $: $ 2 + 8n + 4 = 8n + 6 $.
Resposta
A expressão da série está correta: