Considere a função f(x)=x^2 tg^-1(x^4), e assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
f(x)=x^2 tg^-1(x^4)=sumn=0^infty(-1)^n x^8 n+62 n+1

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente analisar a função $ f(x) = x^{2} \tan{-1}(x{4}) $ e verificar se a expressão em série dada está correta. A matéria envolvida aqui é Séries de Maclaurin e a expansão em série da função arctangente. Vamos precisar saber como expandir a função $ \tan^{-1}(x) $ em série e depois ajustar pra nossa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expansão em série de $ \tan^{-1}(x) $. Sabemos que:
tan^-1(x)
Isso vale para $ |x| \leq 1 $. Esse é o desenvolvimento da série de potências para a função arco-tangente.

Passo 3

Agora, na nossa função $ f(x) = x^{2} \tan{-1}(x{4}) $, temos o arco-tangente de $ x^{4} $. Vamos substituir $ x $ por $ x^{4} $ na série que acabamos de lembrar:
f(x) = x^2 tan^-1(x^4)

Passo 4

Agora, multiplicamos essa série por $ x^{2} $ para obter $ f(x) $:
x^2
Aqui, somamos os expoentes de $ x $: $ 2 + 8n + 4 = 8n + 6 $.

Resposta

A expressão da série está correta:
f(x) = x^2 tan^-1(x^4) = sumn=0^infty (-1)^n x^8n+62n+1

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