Calcule o volume dos sólidos de revolução a seguir.
Nos itens de d) à h), determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos da região limitada pelos gráficos das equações dadas.
y=x^3 e y=x^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo dos (eixo x) a região limitada pelos gráficos de y=x^3 e y=x^2. O conteúdo envolvido é volume de revolução usando o método de discos (ou anéis), e vamos precisar da fórmula que diz que V=piintegrala^bl(R(x)^2 - r(x)^2r),dx.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, primeiro determinamos os pontos de interseção entre y=x^3 e y=x^2 resolvendo x^3=x^2. Isso dá x^2(x-1)=0, logo x=0 ou x=1.
Em seguida identificamos qual curva fica acima no intervalo [0,1]. Como para 0<= x<=1 vale x^2>= x^3, temos o raio externo R(x)=x^2 e o raio interno r(x)=x^3.

Passo 3

Agora montamos o integral de volume com discos anelados:
V=pi integral0^1 l((x^2)^2 - (x^3)^2r) ,dx = pi integral0^1 (x^4 - x^6) ,dx

Passo 4

Basta calcular a integral:
integral0^1(x^4 - x^6),dx=l[x^55-x^77r]0^1=15-17=7-535=235

Passo 5

Multiplicando por pi obtemos o volume final.

Resposta

2pi35

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