Encontre a série de Maclaurin e o polinômio de Taylor
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- A série de Maclaurin de
(ou seja, a expansão em série de potências centrada em ). - O polinômio de Taylor (ou seja, o polinômio obtido truncando a série) — como o enunciado não especifica grau, vamos dar a expressão geral do polinômio de grau
e exemplificar alguns casos baixos.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
(não há figura ou tabela).
Passo 2
Vou lembrar a fórmula básica que usamos para produzir uma série de Maclaurin: se
é uma função com derivadas de todas as ordens em
, sua série de Maclaurin é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Aqui vamos aplicar essa fórmula com
. Não se assuste com derivadas — vou mostrar o padrão delas passo a passo.
Passo 3
Calcular as primeiras derivadas de
para descobrir um padrão.
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Derivada terceira:
Derivada quarta:
Observação do padrão: a cada derivada aparece um fator
multiplicando o anterior, e as funções alternam entre
e
com sinais alternados a cada duas derivadas. Em particular, avaliando em
temos:
e assim por diante.
Passo 4
A partir dos valores acima notamos que todas as derivadas de ordem par em
são zero:
enquanto as derivadas de ordem ímpar seguem o padrão
Vou justificar rapidamente: cada par de derivadas troca
por
e multiplica por
; o primeiro termo ímpar (
) dá
com sinal positivo, o próximo ímpar (
) dá
, e assim por diante, resultando em
.
Agora substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Como só os termos com
ímpar sobrevivem, escrevemos com índice
para os termos ímpares
:
Podemos agrupar
, então fica mais compacto:
Passo 5
Interpretação prática: a série acima é a série de Maclaurin de
. É a mesma forma da série de
com
. Um ponto importante: essa série converge para todo
(raio de convergência infinito) — isso decorre do teste da razão ou do fato conhecido da série de
.
Passo 6
Agora o polinômio de Taylor de grau
(centrado em
, isto é, polinômio de Maclaurin de grau
) obtém-se truncando a série infinita nas potências até grau
. Como só aparecem potências ímpares
, o polinômio de grau
é
Isso significa: somamos todos os termos da série com
.
Vou dar exemplos de polinômios baixos para treinar e para você ter uma forma pronta na prova:
Passo 7
Breve nota sobre erro (para te dar confiança): o resto ao truncar a série depois de termos os termos até
tem ordem do próximo termo e tende a zero quando aumentamos o grau, porque os fatoriais crescem mais rápido que as potências. Ou seja, quanto maior o
, melhor a aproximação, e para funções trigonométricas as séries convergem muito bem para valores razoáveis de
.
Resposta
Série de Maclaurin:
Polinômio de Taylor de grau
: