Encontre a série de Maclaurin e o polinômio de Taylor
f(x)=\operatorname{sen}(3 x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\operatorname{sen}(3x)
e pede duas coisas:
  1. A série de Maclaurin de f (ou seja, a expansão em série de potências centrada em 0).
  2. O polinômio de Taylor (ou seja, o polinômio obtido truncando a série) — como o enunciado não especifica grau, vamos dar a expressão geral do polinômio de grau n e exemplificar alguns casos baixos.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f(x) (não há figura ou tabela).

Passo 2

Vou lembrar a fórmula básica que usamos para produzir uma série de Maclaurin: se g é uma função com derivadas de todas as ordens em 0, sua série de Maclaurin é
g(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{g^{(m)}(0)}{m!}\,x^{m},
onde g^{(m)}(0) é a m-ésima derivada de g avaliada em 0. Aqui vamos aplicar essa fórmula com g(x)=\operatorname{sen}(3x). Não se assuste com derivadas — vou mostrar o padrão delas passo a passo.

Passo 3

Calcular as primeiras derivadas de f(x)=\operatorname{sen}(3x) para descobrir um padrão.
Derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=3\cos(3x).
Derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(3\cos(3x)\big)=3\cdot(-3)\sin(3x)=-9\sin(3x).
Derivada terceira:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\big(-9\sin(3x)\big)=-9\cdot 3\cos(3x)=-27\cos(3x).
Derivada quarta:
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\big(-27\cos(3x)\big)=-27\cdot(-3)\sin(3x)=81\sin(3x).
Observação do padrão: a cada derivada aparece um fator 3 multiplicando o anterior, e as funções alternam entre \sin(3x) e \cos(3x) com sinais alternados a cada duas derivadas. Em particular, avaliando em x=0 temos:
f(0)=\operatorname{sen}(0)=0,
f'(0)=3\cos(0)=3,
f''(0)=-9\sin(0)=0,
f^{(3)}(0)=-27\cos(0)=-27,
f^{(4)}(0)=81\sin(0)=0,
e assim por diante.

Passo 4

A partir dos valores acima notamos que todas as derivadas de ordem par em 0 são zero:
f^{(2k)}(0)=0\quad\text{para todo }k\ge 0,
enquanto as derivadas de ordem ímpar seguem o padrão
f^{(2k+1)}(0)=(-1)^{k}\,3^{2k+1}\quad\text{para }k\ge 0.
Vou justificar rapidamente: cada par de derivadas troca \sin por \sin e multiplica por -3^2=-9; o primeiro termo ímpar ( k=0) dá 3^{1} com sinal positivo, o próximo ímpar ( k=1) dá -3^3, e assim por diante, resultando em (-1)^k 3^{2k+1}.
Agora substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
f(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f^{(m)}(0)}{m!}x^{m}.
Como só os termos com m ímpar sobrevivem, escrevemos com índice k para os termos ímpares m=2k+1:
\operatorname{sen}(3x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{3^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}.
Podemos agrupar 3^{2k+1}x^{2k+1}=(3x)^{2k+1}, então fica mais compacto:
\operatorname{sen}(3x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(3x)^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 5

Interpretação prática: a série acima é a série de Maclaurin de \operatorname{sen}(3x). É a mesma forma da série de \sin u com u=3x. Um ponto importante: essa série converge para todo x (raio de convergência infinito) — isso decorre do teste da razão ou do fato conhecido da série de \sin.

Passo 6

Agora o polinômio de Taylor de grau n (centrado em 0, isto é, polinômio de Maclaurin de grau n) obtém-se truncando a série infinita nas potências até grau n. Como só aparecem potências ímpares 1,3,5,\dots, o polinômio de grau n é
P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}(-1)^{k}\frac{(3x)^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Isso significa: somamos todos os termos da série com 2k+1\le n.
Vou dar exemplos de polinômios baixos para treinar e para você ter uma forma pronta na prova:
P_{1}(x)=3x,
P_{3}(x)=3x-\frac{(3x)^{3}}{3!}=3x-\frac{27x^{3}}{6}=3x-\frac{9}{2}x^{3},
P_{5}(x)=3x-\frac{(3x)^{3}}{3!}+\frac{(3x)^{5}}{5!}=3x-\frac{9}{2}x^{3}+\frac{243}{120}x^{5}=3x-\frac{9}{2}x^{3}+\frac{81}{40}x^{5}.

Passo 7

Breve nota sobre erro (para te dar confiança): o resto ao truncar a série depois de termos os termos até 2k+1 tem ordem do próximo termo e tende a zero quando aumentamos o grau, porque os fatoriais crescem mais rápido que as potências. Ou seja, quanto maior o n, melhor a aproximação, e para funções trigonométricas as séries convergem muito bem para valores razoáveis de x.

Resposta

Série de Maclaurin: \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(3x)^{2k+1}}{(2k+1)!}
Polinômio de Taylor de grau n: \displaystyle P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}(-1)^{k}\frac{(3x)^{2k+1}}{(2k+1)!}

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