Resolva as integrais:
\int\left(3 x^{2}-x\right) e^{-x} d x

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função \displaystyle (3x^{2}-x)e^{-x}, ou seja encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=(3x^{2}-x)e^{-x}.
Informações dadas: a integranda é o produto de um polinômio \displaystyle 3x^{2}-x pelo exponencial \displaystyle e^{-x}. Não há limites (é uma integral indefinida), então devemos acrescentar uma constante de integração C no final.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática): a fórmula de integração por partes.
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para diferenciar (calcular du) e dv é a parte que integraremos (para obter v). A ideia é escolher u de modo que sua derivada seja mais simples (por exemplo, um polinômio) e dv de modo que sua integral seja fácil (por exemplo, e^{-x}). Isso reduz a dificuldade da integral original.

Passo 3

Escolha para a primeira aplicação:
u = 3x^{2}-x,\qquad dv = e^{-x}dx.
Calcule du e v:
du = (6x-1)\,dx, \qquad v=\int e^{-x}dx = -e^{-x}.
Agora aplique a fórmula de integração por partes:
\int (3x^{2}-x)e^{-x}dx = u v - \int v\,du.
Substituindo:
\int (3x^{2}-x)e^{-x}dx = (3x^{2}-x)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(6x-1)dx.
Simplificando sinais:
\int (3x^{2}-x)e^{-x}dx = -(3x^{2}-x)e^{-x} + \int (6x-1)e^{-x}dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \displaystyle \int (6x-1)e^{-x}dx. Repetimos integração por partes (mesma lógica: polinômio reduz de grau).
Escolha:
u_2 = 6x-1,\qquad dv_2 = e^{-x}dx.
Então
du_2 = 6\,dx,\qquad v_2 = -e^{-x}.
Aplique a fórmula:
\int (6x-1)e^{-x}dx = u_2 v_2 - \int v_2\,du_2 = (6x-1)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot 6\,dx.
Simplificando:
\int (6x-1)e^{-x}dx = -(6x-1)e^{-x} + 6\int e^{-x}dx.
E como \displaystyle \int e^{-x}dx = -e^{-x}, temos
\int (6x-1)e^{-x}dx = -(6x-1)e^{-x} + 6(-e^{-x}).
Juntando termos:
\int (6x-1)e^{-x}dx = -(6x-1)e^{-x} -6e^{-x} = -(6x+5)e^{-x}.

Passo 5

Volte para a expressão obtida no Passo 3:
\int (3x^{2}-x)e^{-x}dx = -(3x^{2}-x)e^{-x} + \int (6x-1)e^{-x}dx.
Substituindo o resultado do Passo 4:
\int (3x^{2}-x)e^{-x}dx = -(3x^{2}-x)e^{-x} - (6x+5)e^{-x}.
Fatorando -e^{-x} e somando os polinômios:
\int (3x^{2}-x)e^{-x}dx = -\bigl(3x^{2}-x + 6x + 5\bigr)e^{-x}.
Simplificando -x+6x=5x:
\int (3x^{2}-x)e^{-x}dx = -\bigl(3x^{2}+5x+5\bigr)e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (como checar na prova): defina
F(x) = -\bigl(3x^{2}+5x+5\bigr)e^{-x}.
Derivando (regra do produto):
F'(x) = -\bigl(6x+5\bigr)e^{-x} -\bigl(3x^{2}+5x+5\bigr)(-e^{-x}).
Agrupando e^{-x}:
F'(x) = \bigl( -6x-5 + 3x^{2}+5x+5\bigr)e^{-x} = \bigl(3x^{2}-x\bigr)e^{-x},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\bigl(3x^{2}+5x+5\bigr)e^{-x}+C

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