Resolva as integrais:
Passo 1
O que o exercício pede: calcular a primitiva (integração indefinida) da função
, ou seja encontrar uma função
tal que
Informações dadas: a integranda é o produto de um polinômio
pelo exponencial
. Não há limites (é uma integral indefinida), então devemos acrescentar uma constante de integração
no final.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática): a fórmula de integração por partes.
Aqui
é uma função que escolhemos para diferenciar (calcular
) e
é a parte que integraremos (para obter
). A ideia é escolher
de modo que sua derivada seja mais simples (por exemplo, um polinômio) e
de modo que sua integral seja fácil (por exemplo,
). Isso reduz a dificuldade da integral original.
Passo 3
Escolha para a primeira aplicação:
Calcule
e
:
Agora aplique a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando sinais:
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Repetimos integração por partes (mesma lógica: polinômio reduz de grau).
Escolha:
Escolha:
Então
Aplique a fórmula:
Simplificando:
E como
, temos
Juntando termos:
Passo 5
Volte para a expressão obtida no Passo 3:
Substituindo o resultado do Passo 4:
Fatorando
e somando os polinômios:
Simplificando
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (como checar na prova): defina
Derivando (regra do produto):
Agrupando
:
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.