O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \sqrt{25+x^{2}}\,dx.
Informações dadas: a integranda é a raiz quadrada de 25+x^{2}. Não há limites de integração (é uma primitiva). O número 25 é positivo (logo podemos escrever 25=5^{2}). A resposta deve ser uma função de x mais uma constante de integração C.
Passo 2
Escolher uma substituição conveniente. Como temos a expressão \sqrt{25+x^{2}} com soma de quadrados, uma substituição trigonométrica simples é
x = 5 \tan\theta,
porque então 25+x^{2}=25(1+\tan^{2}\theta)=25\operatorname{sec}^{2}\theta, que simplifica a raiz. Vamos calcular também dx:
dx = 5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Explico por que: \tan\theta deriva para \operatorname{sec}^{2}\theta, e o fator 5 fica multiplicando, logo dx=5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Passo 3
Transformar a integral com a substituição. Primeiro a raiz:
pois \operatorname{sec}\theta\ge 0 no intervalo principal usado pela substituição (poderemos ajustar sinal pela constante se necessário). Substituindo tudo na integral:
Logo a integral em x virou 25 vezes a integral de \operatorname{sec}^{3}\theta em \theta.
Passo 4
Calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta por partes. Método: escrevemos \operatorname{sec}^{3}\theta=\operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta e usamos integração por partes com
Calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. É uma integral padrão cujo resultado é
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Posso mostrar rapidamente a ideia: multiplicando e dividindo por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta e fazendo a substituição w=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta leva a essa forma logarítmica. Usando isso no resultado anterior:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Passo 6
Voltar para a variável x. Lembrando que x=5\tan\theta, então
Como -\frac{25}{2}\ln 5 é constante, podemos absorvê-la na constante de integração C. Além disso, para todo x\in\mathbb{R} tem-se \sqrt{25+x^{2}}+x>0, então as barras de valor absoluto podem ser mantidas ou removidas sem problema; é comum manter o valor absoluto por rigor.
Passo 7
Juntando os termos e absorvendo constantes, obtemos a primitiva final:
\int \sqrt{25+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{25+x^{2}} + \frac{25}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{25+x^{2}}\bigr| + C.