Resolva as integrais:
\int \sqrt{25+x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \sqrt{25+x^{2}}\,dx.
Informações dadas: a integranda é a raiz quadrada de 25+x^{2}. Não há limites de integração (é uma primitiva). O número 25 é positivo (logo podemos escrever 25=5^{2}). A resposta deve ser uma função de x mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolher uma substituição conveniente. Como temos a expressão \sqrt{25+x^{2}} com soma de quadrados, uma substituição trigonométrica simples é
x = 5 \tan\theta,
porque então 25+x^{2}=25(1+\tan^{2}\theta)=25\operatorname{sec}^{2}\theta, que simplifica a raiz. Vamos calcular também dx:
dx = 5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Explico por que: \tan\theta deriva para \operatorname{sec}^{2}\theta, e o fator 5 fica multiplicando, logo dx=5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Transformar a integral com a substituição. Primeiro a raiz:
\sqrt{25+x^{2}}=\sqrt{25\operatorname{sec}^{2}\theta}=5\operatorname{sec}\theta,
pois \operatorname{sec}\theta\ge 0 no intervalo principal usado pela substituição (poderemos ajustar sinal pela constante se necessário). Substituindo tudo na integral:
\int \sqrt{25+x^{2}}\,dx = \int \bigl(5\operatorname{sec}\theta\bigr)\bigl(5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\bigr)=\int 25\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Logo a integral em x virou 25 vezes a integral de \operatorname{sec}^{3}\theta em \theta.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta por partes. Método: escrevemos \operatorname{sec}^{3}\theta=\operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta e usamos integração por partes com
u=\operatorname{sec}\theta,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Então
du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad v=\tan\theta.
Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv-\int v\,du:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\bigr)\,d\theta.
Simplificando o integrando:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta\,d\theta.
Agora usamos a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1. Substituindo:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta.
Distribuindo a integral:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Passo importante: aqui apareceu \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta dos dois lados; reunimos termos iguais ao lado esquerdo:
2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Logo
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. É uma integral padrão cujo resultado é
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Posso mostrar rapidamente a ideia: multiplicando e dividindo por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta e fazendo a substituição w=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta leva a essa forma logarítmica. Usando isso no resultado anterior:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 6

Voltar para a variável x. Lembrando que x=5\tan\theta, então
\tan\theta=\frac{x}{5}.
E
\operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+\Bigl(\frac{x}{5}\Bigr)^{2}}=\frac{\sqrt{25+x^{2}}}{5}.
Agora substituímos na expressão de \int 25\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta:
\int 25\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = 25\left(\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\right)+C.
Calculando cada termo:
25\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \frac{25}{2}\cdot\frac{\sqrt{25+x^{2}}}{5}\cdot\frac{x}{5} = \frac{1}{2}x\sqrt{25+x^{2}}.
E
25\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|=\frac{25}{2}\ln\Bigl|\frac{\sqrt{25+x^{2}}}{5}+\frac{x}{5}\Bigr|.
A expressão dentro do log pode ser simplificada:
\frac{\sqrt{25+x^{2}}}{5}+\frac{x}{5}=\frac{\sqrt{25+x^{2}}+x}{5}.
Assim
\frac{25}{2}\ln\Bigl|\frac{\sqrt{25+x^{2}}+x}{5}\Bigr|=\frac{25}{2}\ln\bigl|\sqrt{25+x^{2}}+x\bigr|-\frac{25}{2}\ln 5.
Como -\frac{25}{2}\ln 5 é constante, podemos absorvê-la na constante de integração C. Além disso, para todo x\in\mathbb{R} tem-se \sqrt{25+x^{2}}+x>0, então as barras de valor absoluto podem ser mantidas ou removidas sem problema; é comum manter o valor absoluto por rigor.

Passo 7

Juntando os termos e absorvendo constantes, obtemos a primitiva final:
\int \sqrt{25+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{25+x^{2}} + \frac{25}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{25+x^{2}}\bigr| + C.

Resposta

\frac{1}{2}x\sqrt{25+x^{2}}+\frac{25}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{25+x^{2}}\bigr|+C

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