Encontre a série de Maclaurin das seguintes funções, usando a definição de uma série de Maclaurin.
f(x)=x cos (x^22)
R: sum(-1)^n 12^2 n(2 n!) x^4 n+1

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=xcos!l(tfracx^22r). Vamos usar a definição de série de Maclaurin (expansão em torno de 0) e, em particular, aproveitar a série conhecida de cos z.

Passo 2

Lembramos que, para todo z,
cos(z)=sumn=0^infty(-1)^n,z^2n(2n)!

Passo 3

Substituímos z=tfracx^22 na expansão de cos(z):
cos!l(tfracx^22r) =sumn=0^infty(-1)^n,l(tfracx^22r)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n2^2n,(2n)!

Passo 4

Multiplicamos por x para obter f(x):
f(x)=xcos!l(tfracx^22r) =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+12^2n,(2n)!

Resposta

sumn=0^infty(-1)^n,12^2n,(2n)!;x^4n+1

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