Encontre a série de Mclaurin para
calculando os coeficientes da série através das derivadas da
.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em
) de
, calculando os coeficientes da série através das derivadas de
. Informação dada:
- A função é
. - Deve-se obter a série usando as derivadas de
avaliadas em .
Passo 2
Vou lembrar a fórmula que vamos usar: a série de Maclaurin de uma função
é
Explicando cada termo dessa fórmula:
-
significa a -ésima derivada de avaliada em . -
é o fatorial de . - O somatório soma essas contribuições para
.
Na prática, precisamos calcularpara vários e identificar um padrão que permita escrever a série completa.
Passo 3
Vamos calcular derivadas de ordem baixa e observar o padrão. Para isso uso duas regras básicas:
- Derivada de
é vezes (regra da cadeia). - Derivada de
é vezes .
Aplicando à nossa função
, tem-se
. Agora as derivadas:
Derivada de ordem
(a própria função):
Derivada de ordem
:
Derivada de ordem
:
Derivada de ordem
:
Derivada de ordem
:
Percebe-se um ciclo de período
nas derivadas: as funções alternam entre
e
com sinais que mudam, e cada derivada multiplica por mais um fator
. Em termos de potência de
:
-
, -
, -
, -
, -
,
e assim por diante.
Passo 4
Agora avalio essas derivadas em
. Lembre que
e
.
Avaliações:
e assim por diante.
Observação do padrão: todas as derivadas de ordem ímpar avaliadas em
são
, porque envolvem
. As derivadas de ordem par
têm valor
Esse resultado vem do ciclo e do sinal alternante: a cada duas derivações volta-se para
e aparece o fator
típico de
(por exemplo,
,
, etc.).
Passo 5
Substituo os valores
na fórmula da série de Maclaurin. Como as derivadas ímpares em
valem
, só restam os termos de ordem par
. Assim:
Passo 6
Escrevo também os primeiros termos explícitos para ficar mais claro como é a série:
Também vale comentar: outra forma rápida de ver isso é lembrar a série de
,
e fazer a substituição
, que leva exatamente ao mesmo resultado. Mas aqui fizemos pelo caminho pedido (derivadas).
Passo 7
Sobre convergência: a série acima converge para todo
(raio de convergência infinito), porque a série de
tem raio infinito e a substituição
não altera isso.
Força aí — já tem a série e o padrão geral para aplicar rapidamente na prova!