Encontre a série de Mclaurin para f(x)=\cos 3 x calculando os coeficientes da série através das derivadas da f.
\mathscr{B} \mathscr{O} \mathscr{A} \mathscr{P} \mathscr{R} \mathscr{V} \mathscr{A}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0) de f(x)=\cos 3x, calculando os coeficientes da série através das derivadas de f. Informação dada:
  • A função é f(x)=\cos 3x.
  • Deve-se obter a série usando as derivadas de f avaliadas em 0.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula que vamos usar: a série de Maclaurin de uma função f é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}.
Explicando cada termo dessa fórmula:
  • f^{(n)}(0) significa a n-ésima derivada de f avaliada em x=0.
  • n! é o fatorial de n.
  • O somatório soma essas contribuições para n=0,1,2,\dots.
    Na prática, precisamos calcular f^{(n)}(0) para vários n e identificar um padrão que permita escrever a série completa.

Passo 3

Vamos calcular derivadas de ordem baixa e observar o padrão. Para isso uso duas regras básicas:
  • Derivada de \cos u é -\sin u vezes u' (regra da cadeia).
  • Derivada de \sin u é \cos u vezes u'.
Aplicando à nossa função u(x)=3x, tem-se u'(x)=3. Agora as derivadas:
Derivada de ordem 0 (a própria função):
f(x)=\cos 3x.
Derivada de ordem 1:
f'(x) = -\sin 3x\cdot 3 = -3\sin 3x.
Derivada de ordem 2:
f''(x) = -3\cdot(\cos 3x)\cdot 3 = -9\cos 3x.
Derivada de ordem 3:
f^{(3)}(x) = -9\cdot(-\sin 3x)\cdot 3 = 27\sin 3x.
Derivada de ordem 4:
f^{(4)}(x) = 27\cdot(\cos 3x)\cdot 3 = 81\cos 3x.
Percebe-se um ciclo de período 4 nas derivadas: as funções alternam entre \cos 3x e \sin 3x com sinais que mudam, e cada derivada multiplica por mais um fator 3. Em termos de potência de 3:
  • f^{(0)}(x)=3^{0}\cos 3x,
  • f^{(1)}(x)=-3^{1}\sin 3x,
  • f^{(2)}(x)=-3^{2}\cos 3x,
  • f^{(3)}(x)=3^{3}\sin 3x,
  • f^{(4)}(x)=3^{4}\cos 3x,
    e assim por diante.

Passo 4

Agora avalio essas derivadas em x=0. Lembre que \sin 0=0 e \cos 0=1.
Avaliações:
f(0)=\cos 0=1,
f'(0)=-3\sin 0=0,
f''(0)=-9\cos 0=-9,
f^{(3)}(0)=27\sin 0=0,
f^{(4)}(0)=81\cos 0=81,
e assim por diante.
Observação do padrão: todas as derivadas de ordem ímpar avaliadas em 0 são 0, porque envolvem \sin 0. As derivadas de ordem par 2n têm valor
f^{(2n)}(0)=(-1)^{n}3^{2n}.
Esse resultado vem do ciclo e do sinal alternante: a cada duas derivações volta-se para \cos 3x e aparece o fator (-1)^{n} típico de \cos (por exemplo, f''(0)=-3^{2}, f^{(4)}(0)=+3^{4}, etc.).

Passo 5

Substituo os valores f^{(n)}(0) na fórmula da série de Maclaurin. Como as derivadas ímpares em 0 valem 0, só restam os termos de ordem par 2n. Assim:
\cos 3x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}\,x^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}3^{2n}}{(2n)!}\,x^{2n}.

Passo 6

Escrevo também os primeiros termos explícitos para ficar mais claro como é a série:
\cos 3x = 1 - \frac{3^{2}x^{2}}{2!} + \frac{3^{4}x^{4}}{4!} - \frac{3^{6}x^{6}}{6!} + \cdots = 1 - \frac{9x^{2}}{2!} + \frac{81x^{4}}{4!} - \frac{729x^{6}}{6!} + \cdots.
Também vale comentar: outra forma rápida de ver isso é lembrar a série de \cos t,
\cos t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}t^{2n}}{(2n)!},
e fazer a substituição t=3x, que leva exatamente ao mesmo resultado. Mas aqui fizemos pelo caminho pedido (derivadas).

Passo 7

Sobre convergência: a série acima converge para todo x (raio de convergência infinito), porque a série de \cos t tem raio infinito e a substituição t=3x não altera isso.
Força aí — já tem a série e o padrão geral para aplicar rapidamente na prova!

Resposta

\cos 3x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}3^{2n}}{(2n)!}\,x^{2n}=1-\frac{9x^{2}}{2!}+\frac{81x^{4}}{4!}-\frac{729x^{6}}{6!}+\cdots

Exercícios relacionados