Os coeficientes da série (em torno de 0) são a_n=\dfrac{(-1)^{n}}{5^{n}n^{2}}.
O centro da série é 0.
O enunciado pede:
Encontrar o raio de convergência (ou seja, o valor R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R).
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, quais valores reais de x fazem a série convergir, incluindo testar os pontos extremos \pm R).
Passo 2
Qual método usar para obter o raio? Vou usar a fórmula que vem do teste da raiz (uma ferramenta padrão para séries de potências). Para uma série de potências centrada em 0,
Aqui a_n é o coeficiente do termo x^n. Essa fórmula decorre do teste da raiz: a série converge absolutamente quando \limsup_{n\to\infty}|a_n x^n|^{1/n}<1, i.e. |x|<1/\limsup|a_n|^{1/n}.
Passo 3
Calcular \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n} para nossos coeficientes.
Logo o raio de convergência é 5. Isso nos diz que a série converge absolutamente para |x|<5 e diverge para |x|>5. Falta analisar os pontos da fronteira |x|=5, ou seja x=5 e x=-5.
Considere a série dos valores absolutos: \sum_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}. Esta é uma série p com p=2>1, e sabe-se que séries p convergem quando p>1. Portanto \sum 1/n^{2} converge, logo a série original em x=5 converge absolutamente (e, portanto, converge).
Essa é exatamente a série p com p=2 que já vimos convergir. Logo a série converge (na verdade, converge absolutamente) em x=-5.
Passo 7
Conclusão final: o raio de convergência é 5 e ambos os pontos da fronteira x=5 e x=-5 pertencem ao conjunto de convergência porque em ambos a série converge absolutamente. Assim o intervalo de convergência real é o intervalo fechado [-5,5].