Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{5^{n} n^{2}}

Passo 1

Vou explicitar o que o enunciado dá e o que pede. A série de potências dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{5^{n} n^{2}}.
Informações relevantes:
  • Os coeficientes da série (em torno de 0) são a_n=\dfrac{(-1)^{n}}{5^{n}n^{2}}.
  • O centro da série é 0.
    O enunciado pede:
  1. Encontrar o raio de convergência (ou seja, o valor R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R).
  2. Determinar o intervalo de convergência (ou seja, quais valores reais de x fazem a série convergir, incluindo testar os pontos extremos \pm R).

Passo 2

Qual método usar para obter o raio? Vou usar a fórmula que vem do teste da raiz (uma ferramenta padrão para séries de potências). Para uma série de potências centrada em 0,
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,
o raio de convergência R pode ser obtido por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}.
Aqui a_n é o coeficiente do termo x^n. Essa fórmula decorre do teste da raiz: a série converge absolutamente quando \limsup_{n\to\infty}|a_n x^n|^{1/n}<1, i.e. |x|<1/\limsup|a_n|^{1/n}.

Passo 3

Calcular \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n} para nossos coeficientes.
|a_n|=\frac{1}{5^{n}n^{2}}, \qquad |a_n|^{1/n}=\left(\frac{1}{5^{n}n^{2}}\right)^{1/n}=\frac{1}{5}\,n^{-2/n}.
Agora determino o limite de n^{-2/n}. Note que
n^{1/n}=\exp\!\left(\frac{\ln n}{n}\right).
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0, segue \displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1. Portanto
\lim_{n\to\infty}n^{-2/n}=\left(\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\right)^{-2}=1^{-2}=1.
Assim
\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do raio:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}=\frac{1}{1/5}=5.
Logo o raio de convergência é 5. Isso nos diz que a série converge absolutamente para |x|<5 e diverge para |x|>5. Falta analisar os pontos da fronteira |x|=5, ou seja x=5 e x=-5.

Passo 5

Testo o ponto x=5. Substituindo na série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}5^{n}}{5^{n}n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Considere a série dos valores absolutos: \sum_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}. Esta é uma série p com p=2>1, e sabe-se que séries p convergem quando p>1. Portanto \sum 1/n^{2} converge, logo a série original em x=5 converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 6

Testo o ponto x=-5. Substituindo,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-5)^{n}}{5^{n}n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-1)^{n}5^{n}}{5^{n}n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Essa é exatamente a série p com p=2 que já vimos convergir. Logo a série converge (na verdade, converge absolutamente) em x=-5.

Passo 7

Conclusão final: o raio de convergência é 5 e ambos os pontos da fronteira x=5 e x=-5 pertencem ao conjunto de convergência porque em ambos a série converge absolutamente. Assim o intervalo de convergência real é o intervalo fechado [-5,5].

Resposta

Raio de convergência: 5
Intervalo de convergência: [-5,5]

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