Encontre a série de Taylor para f(x) centrada em a:
d) f(x)=x^{2} com a=-1.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=x^2 centrada em a=-1. O conteúdo aqui é desenvolvimento em torno de um ponto usando derivadas. Vamos usar a fórmula geral da série de Taylor:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f(x)=x^2:
f'(x)=2x, \quad f''(x)=2, \quad f^{(n)}(x)=0\\ \text{para }n\ge3.

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em a=-1:
f(-1)=(-1)^2=1, \quad f'(-1)=2\cdot(-1)=-2, \quad f''(-1)=2.

Passo 4

Substituindo na fórmula da série de Taylor e lembrando que as derivadas de ordem superior a 2 são zero, obtemos
f(x) =\underbrace{f(-1)}_{1} +\underbrace{f'(-1)}_{-2}(x+1) +\frac{\underbrace{f''(-1)}_{2}}{2!}(x+1)^2 =1-2(x+1)+\frac{2}{2}(x+1)^2.
Simplificando,
x^2=1-2(x+1)+(x+1)^2.

Resposta

x^2 = 1 - 2\,(x+1) + (x+1)^2.

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