Encontre a série de Taylor para f(x) centrada em a:
a) f(x)=e^{x} \operatorname{com} a=5

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^{x} centrada em a=5. O conteúdo envolve a definição de série de Taylor para funções infinitamente diferenciáveis:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f. Como
f(x)=e^{x},
temos para todo n\ge0
f^{(n)}(x)=e^{x}.
Em particular, em x=5:
f^{(n)}(5)=e^{5}.

Passo 3

Substituímos f^{(n)}(5)=e^{5} na fórmula geral da série de Taylor centrada em a=5:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{5}}{n!}(x-5)^{n}.

Passo 4

Fatorando e^{5}, obtemos a forma mais conhecida:
f(x)=e^{5}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-5)^{n}}{n!}.

Resposta

e^{x} = e^{5}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-5)^{n}}{n!}.

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