Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de x0. Ache o raio de convergência
f(x) = e^(x), x0 = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função centrada no ponto . Além disso, vamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender o que é a série de Taylor, como calcular seus coeficientes e determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função centrada em é uma soma infinita que aproxima a função perto de . Ela é dada por:
Aqui, é a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de . A coisa legal do exponencial é que todas as suas derivadas são iguais a ele mesmo. Ou seja:
Isso facilita muito nossos cálculos!

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Então, todos os coeficientes da série de Taylor vão ter multiplicando cada termo.

Passo 5

Substituindo na fórmula da série de Taylor, temos:
Esse é a série de Taylor da função centrada em .

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que, para a série exponencial, a série de Taylor converge para todo valor de . Matemática falando, o raio de convergência é infinito:
Isso significa que a série de Taylor vale para qualquer real.

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
E o raio de convergência dessa série é infinito ( ).

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