Encontre a série de Taylor das funções abaixo centradas em
dado e determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
centrada em
e o raio de convergência. Para isso vamos usar a definição
e o teste da razão para achar o raio.
Passo 2
Primeiro encontramos a derivada de ordem
de
. Note que
Por indução mostra-se
Passo 3
Avaliaremos em
:
Assim o coeficiente geral da série é
Portanto a série de Taylor fica
Passo 4
Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão aos coeficientes
:
Isso mostra que a série converge para
, logo o raio é
.
Também faz sentido pois tem singularidade em
, a uma unidade de
.
Também faz sentido pois
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é
e o raio de convergência é
.