Encontre as séries de Fourier-Legendre dos polinômios abaixo.
x^3-8

Passo 1

A questão pede para expandir o polinômio f(x)=x^3-8 na base dos polinômios de Legendre Pn(x) definidos em [-1,1]. Vamos usar ortogonalidade e a fórmula dos coeficientes de expansão.

Passo 2

A fórmula geral do coeficiente an na série de Legendre é
an=2n+12integral-1^1f(x)Pn(x),dx
Como f tem grau 3, todos os an com n>3 vão ser zero.

Passo 3

Os polinômios de Legendre até grau 3 são:
P0(x)=1,
P1(x)=x,
P2(x)=3x^2-12,
P3(x)=5x^3-3x2

Passo 4

Cálculo de a0:
integral-1^1(x^3-8)P0(x),dx=integral-1^1x^3,dx-8integral-1^1!1,dx=0-8cdot2=-16
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a0=12(-16)=-8

Passo 5

Cálculo de a1:
integral-1^1(x^3-8)P1(x),dx=integral-1^1x^4,dx-8integral-1^1x,dx=25-0=25
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a1=32cdot25=35

Passo 6

Cálculo de a2:
integral-1^1(x^3-8)P2(x),dx=12l(3integral-1^1x^5,dx-integral-1^1x^3,dxr)=12l(3cdot26-0r)=12
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a2=52cdot12=54

Passo 7

Cálculo de a3:
integral-1^1(x^3-8)P3(x),dx=12l(5integral-1^1x^6,dx-3integral-1^1x^4,dxr)=12l(5cdot27-3cdot25r)=435
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a3=72cdot435=25

Resposta

A série de Fourier–Legendre de x^3-8 em [-1,1] é
x^3-8=-8P0(x)+35P1(x)+54P2(x)+25P3(x)

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