Encontre as séries de Fourier-Legendre dos polinômios abaixo.
Passo 1
A questão pede para expandir o polinômio
na base dos polinômios de Legendre
definidos em
. Vamos usar ortogonalidade e a fórmula dos coeficientes de expansão.
Passo 2
A fórmula geral do coeficiente
na série de Legendre é
Como
tem grau 3, todos os
com
vão ser zero.
Passo 3
Os polinômios de Legendre até grau 3 são:
Passo 4
Cálculo de
:
Logo
Passo 5
Cálculo de
:
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Passo 6
Cálculo de
:
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Passo 7
Cálculo de
:
Logo
Resposta
A série de Fourier–Legendre de
em
é