Considere o campo vetorial em R^3 dado por
F(x, y, z)=2 x y z^3 i+x^2 z^3 j+3 x^2 y z^2 k
Se F é conservativo, determine f tal que F=nabla f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial em e nos pede para encontrar uma função tal que . Isso significa que é um campo conservativo e queremos achar o potencial . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se F(x, y, z) = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) , então cada componente de partial fpartial x = 2xyz^3, partial fpartial y = x^2 z^3, partial fpartial z = 3x^2 y z^2 é a derivada parcial de em relação a uma das variáveis. Ou seja:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos começar encontrando f(x, y, z) = integral 2xyz^3 , dx = x^2 y z^3 + g(y, z) integrando em relação a . Assim:
Aqui, é uma função que depende apenas de e , já que a derivada em relação a eliminou essa parte.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação: partial fpartial y = x^2 z^3 + partial gpartial y = x^2 z^3 . Sabemos que:
Isso implica que , ou seja, não depende de , apenas de . Então, podemos escrever .

Passo 5

Agora, vamos usar a terceira equação: partial fpartial z = x^2 y cdot 3z^2 + dgdz = 3x^2 y z^2 . Sabemos que:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Finalmente, juntando tudo que achamos, a função potencial f(x, y, z) = x^2 y z^3 + C é:
Onde é uma constante qualquer.

Resposta

A função f(x, y, z) = x^2 y z^3 + C que satisfaz é:

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