Considere o campo vetorial em
dado por
Se
é conservativo, determine
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial
em
e nos pede para encontrar uma função
tal que
. Isso significa que
é um campo conservativo e queremos achar o potencial
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
, então cada componente de
é a derivada parcial de
em relação a uma das variáveis. Ou seja:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos começar encontrando
integrando
em relação a
. Assim:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
, já que a derivada em relação a
eliminou essa parte.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação:
. Sabemos que:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
, apenas de
. Então, podemos escrever
.
Passo 5
Agora, vamos usar a terceira equação:
. Sabemos que:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Finalmente, juntando tudo que achamos, a função potencial
é:
Onde
é uma constante qualquer.
Resposta
A função
que satisfaz
é: