Resolva os itens abaixo.
a) Mostre que se
é uma função par em
, então a sua série de Fourier-Legendre é dada por
onde
.
a) Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que se a função $ f $ é par no intervalo
, então a sua série de Fourier-Legendre só tem termos com índices pares. A gente vai precisar entender sobre funções pares, a série de Fourier-Legendre e as propriedades dos polinômios de Legendre. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função $ f $ é par se $ f(-x) = f(x) $ para todo $ x $ no domínio. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a série de Fourier-Legendre. Essa série é uma expansão de uma função em termos dos polinômios de Legendre $ P_n(x) $, que são funções ortogonais no intervalo
. A série geral é dada por:
onde os coeficientes $ c_n $ são calculados por:
Passo 4
Como $ f $ é uma função par, e os polinômios de Legendre $ P_n(x) $ têm uma propriedade importante: $ P_n(-x) = (-1)^n P_n(x) $. Isso significa que se $ n $ for par, $ P_n(x) $ é par, e se $ n $ for ímpar, $ P_n(x) $ é ímpar.
Passo 5
Vamos analisar os coeficientes $ c_n $. Para $ n $ ímpar, o produto de duas funções pares e ímpares é uma função ímpar:
A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero. Então, para $ n $ ímpar:
Passo 6
Portanto, apenas os termos com $ n $ par contribuem para a série. Podemos reescrever a série considerando apenas $ n = 2k $, onde $ k $ é inteiro. Assim:
Passo 7
Agora, vamos ajustar a expressão do coeficiente. Substituindo $ n $ por $ 2k $ na fórmula do coeficiente:
Como $ f $ é par e $ P_{2k} $ também é par, a integral de duas funções pares em
é o dobro da integral de $ [0, 1] $:
Para simplificar, podemos absorver o fator 2 na definição do coeficiente.
Resposta
Assim, mostramos que se $ f $ é uma função par em
, sua série de Fourier-Legendre é dada por
onde os coeficientes são