Resolva os itens abaixo.
a) Mostre que se f é uma função par em (-1,1), então a sua série de Fourier-Legendre é dada por
f(x)=sumn=0^infty c2 n P2 n(x)
onde c2 n=(4 n+1) integral0^1 f(x) P2 n(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que se a função $ f $ é par no intervalo f , então a sua série de Fourier-Legendre só tem termos com índices pares. A gente vai precisar entender sobre funções pares, a série de Fourier-Legendre e as propriedades dos polinômios de Legendre. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função $ f $ é par se $ f(-x) = f(x) $ para todo $ x $ no domínio. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a série de Fourier-Legendre. Essa série é uma expansão de uma função em termos dos polinômios de Legendre $ P_n(x) $, que são funções ortogonais no intervalo Pn(x) . A série geral é dada por:
[-1, 1]
onde os coeficientes $ c_n $ são calculados por:
f(x) = sumn=0^infty cn Pn(x)

Passo 4

Como $ f $ é uma função par, e os polinômios de Legendre $ P_n(x) $ têm uma propriedade importante: $ P_n(-x) = (-1)^n P_n(x) $. Isso significa que se $ n $ for par, $ P_n(x) $ é par, e se $ n $ for ímpar, $ P_n(x) $ é ímpar.

Passo 5

Vamos analisar os coeficientes $ c_n $. Para $ n $ ímpar, o produto de duas funções pares e ímpares é uma função ímpar:
cn íí
A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico n é zero. Então, para $ n $ ímpar:
f(x) Pn(x) = par times ímpar = ímpar

Passo 6

Portanto, apenas os termos com $ n $ par contribuem para a série. Podemos reescrever a série considerando apenas $ n = 2k $, onde $ k $ é inteiro. Assim:
n

Passo 7

Agora, vamos ajustar a expressão do coeficiente. Substituindo $ n $ por $ 2k $ na fórmula do coeficiente:
n
Como $ f $ é par e $ P_{2k} $ também é par, a integral de duas funções pares em 2k é o dobro da integral de $ [0, 1] $:
c2k = (2(2k) + 1) integral-1^1 f(x) P2k(x) dx = (4k + 1) integral-1^1 f(x) P2k(x) dx
Para simplificar, podemos absorver o fator 2 na definição do coeficiente.

Resposta

Assim, mostramos que se $ f $ é uma função par em f , sua série de Fourier-Legendre é dada por
(-1,1)
onde os coeficientes são
f(x) = sumn=0^infty c2n P2n(x)

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