Encontre d y / d x.
x=t \sin t, \quad y=t^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = t\sin t,\qquad y = t^{2}+1,
e pede para encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes:
  • x e y estão dadas como funções de um parâmetro t.
  • É preciso a derivada da curva no plano em termos de t, ou seja \dfrac{dy}{dx} em função de t.

Passo 2

Ideia-chave (fórmula para curvas paramétricas): se x=x(t) e y=y(t) são diferenciáveis e dx/dt\neq0, então a derivada de y em relação a x é
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Explicação simples do porquê: a derivada de y em relação a x pode ser vista como a razão entre as variações instantâneas de y e de x com respeito ao mesmo parâmetro t. Formalmente vem da regra da cadeia aplicando \dfrac{d}{dt}y(t)=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt} e isolando \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Calcular \dfrac{dy}{dt}. A função é y=t^{2}+1.
  • Regra usada: derivada de t^{n} é n t^{n-1}; derivada de constante é 0.
    Portanto
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}+1\bigr)=2t.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt}. A função é x=t\sin t.
  • Regra usada: regra do produto. Se u(t)=t e v(t)=\sin t, então \dfrac{d}{dt}(uv)=u'\,v+u\,v'.
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{dt}t=1 e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
    Aplicando:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t\sin t\bigr)=1\cdot\sin t + t\cdot\cos t=\sin t + t\cos t.

Passo 5

Substituir \dfrac{dy}{dt} e \dfrac{dx}{dt} na fórmula paramétrica \dfrac{dy}{dx}=(dy/dt)/(dx/dt). Assim obtemos a expressão para a derivada da curva em função de t:
\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{\sin t + t\cos t}.
Observação importante para a prova: essa expressão só faz sentido quando o denominador não é zero. Ou seja, \dfrac{dy}{dx} está indefinido nos valores de t que satisfazem \sin t + t\cos t=0 (por exemplo t=0 dá denominador 0, então é preciso tratar esse caso separadamente se o enunciado pedir tangente naquele ponto).

Resposta

\displaystyle \frac{2t}{\sin t + t\cos t}

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