Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede para encontrar
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
e estão dadas como funções de um parâmetro . - É preciso a derivada da curva no plano em termos de
, ou seja em função de .
Passo 2
Ideia-chave (fórmula para curvas paramétricas): se
e
são diferenciáveis e
, então a derivada de
em relação a
é
Explicação simples do porquê: a derivada de
em relação a
pode ser vista como a razão entre as variações instantâneas de
e de
com respeito ao mesmo parâmetro
. Formalmente vem da regra da cadeia aplicando
e isolando
.
Passo 3
Calcular
. A função é
.
- Regra usada: derivada de
é ; derivada de constante é .
Portanto
Passo 4
Calcular
. A função é
.
- Regra usada: regra do produto. Se
e , então . - Derivadas básicas:
e .
Aplicando:
Passo 5
Substituir
e
na fórmula paramétrica
. Assim obtemos a expressão para a derivada da curva em função de
:
Observação importante para a prova: essa expressão só faz sentido quando o denominador não é zero. Ou seja,
está indefinido nos valores de
que satisfazem
(por exemplo
dá denominador
, então é preciso tratar esse caso separadamente se o enunciado pedir tangente naquele ponto).