Exercício 3: Analise a existência ou não dos seguintes limites a seguir:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x z^{4} \operatorname{sen}\left(y e^{x-5 z+3}\right)}{x^{2}+z^{8}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a existência do limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{x z^{4} \operatorname{sen}\!\bigl(y e^{x-5 z+3}\bigr)}{x^{2}+z^{8}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=\dfrac{x z^{4} \operatorname{sen}\!\bigl(y e^{x-5 z+3}\bigr)}{x^{2}+z^{8}}.
  • O ponto de interesse é (x,y,z)\to(0,0,0).
    A tarefa é determinar se esse limite existe e, em caso afirmativo, calcular o seu valor.

Passo 2

Vou trabalhar com o valor absoluto da função para conseguir uma estimativa que permita usar o Teorema do Confronto (squeeze). Primeiro uso uma desigualdade elementar da função seno:
|\operatorname{sen} t| \le |t|\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Aplicando com t = y e^{x-5z+3} obtemos
\bigl|\operatorname{sen}\!\bigl(y e^{x-5 z+3}\bigr)\bigr| \le |y|\, e^{x-5z+3}.
Agora note que, em qualquer vizinhança pequena de (0,0,0) (por exemplo para |x|\le 1 e |z|\le 1), temos
e^{x-5z+3} \le e^{3+|x|+5|z|} \le e^{3+1+5\cdot 1}=e^{9}.
Então existe uma constante positiva M (por exemplo M=e^{9}) tal que, nessa vizinhança,
\bigl|\operatorname{sen}\!\bigl(y e^{x-5 z+3}\bigr)\bigr| \le M\,|y|.

Passo 3

Agora uso uma desigualdade algébrica útil para o denominador: pela desigualdade aritmético-geométrica (AM-GM), para a\ge 0 e b\ge 0 vale a+b\ge 2\sqrt{ab}. Tomando a=x^{2} e b=z^{8} (ambos não-negativos), obtemos
x^{2}+z^{8} \ge 2\sqrt{x^{2}z^{8}} = 2|x|\,z^{4}.
Essa desigualdade é válida para todos os x,z. (Quando x=0 o lado direito é zero e a desigualdade continua verdadeira; quando z=0 o denominador é x^{2}, também OK.)

Passo 4

Combino as estimativas para dominar o valor absoluto de f. Para pontos na vizinhança escolhida (excluindo o próprio ponto (0,0,0), onde o denominador é zero e o limite é procurado), temos
\begin{aligned} \left|\frac{x z^{4} \operatorname{sen}\!\bigl(y e^{x-5 z+3}\bigr)}{x^{2}+z^{8}}\right| &\le \frac{|x|\,z^{4}\;\bigl|\operatorname{sen}\!\bigl(y e^{x-5 z+3}\bigr)\bigr|}{x^{2}+z^{8}}\\[4pt] &\le \frac{|x|\,z^{4}\;M|y|}{x^{2}+z^{8}}. \end{aligned}
Agora aplico x^{2}+z^{8}\ge 2|x|\,z^{4} no denominador:
\frac{|x|\,z^{4}\;M|y|}{x^{2}+z^{8}} \le \frac{|x|\,z^{4}\;M|y|}{2|x|\,z^{4}} = \frac{M}{2}\,|y|.
Observação sobre casos especiais: se x=0 então o numerador é zero e o valor da função (quando bem definido) é 0, o que satisfaz a desigualdade 0\le \tfrac{M}{2}|y|. Portanto a estimativa
\left|\frac{x z^{4} \operatorname{sen}\!\bigl(y e^{x-5 z+3}\bigr)}{x^{2}+z^{8}}\right| \le \frac{M}{2}\,|y|
vale para todos os pontos próximos à origem (exceto o próprio ponto em que a função pode não estar definida), com uma constante fixa M.]

Passo 5

Como |y|\to 0 quando (x,y,z)\to(0,0,0), a cota anterior mostra que o módulo da função fica obrigatoriamente menor ou igual a \dfrac{M}{2}|y|, que tende a 0. Pelo Teorema do Confronto (squeeze), concluímos que o limite existe e é 0.

Resposta

0

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