Exercício 3: Analise a existência ou não dos seguintes limites a seguir: \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x z^{4} \operatorname{sen}\left(y e^{x-5 z+3}\right)}{x^{2}+z^{8}}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a existência do limite
A função é f(x,y,z)=\dfrac{x z^{4} \operatorname{sen}\!\bigl(y e^{x-5 z+3}\bigr)}{x^{2}+z^{8}}.
O ponto de interesse é (x,y,z)\to(0,0,0).
A tarefa é determinar se esse limite existe e, em caso afirmativo, calcular o seu valor.
Passo 2
Vou trabalhar com o valor absoluto da função para conseguir uma estimativa que permita usar o Teorema do Confronto (squeeze). Primeiro uso uma desigualdade elementar da função seno:
|\operatorname{sen} t| \le |t|\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Agora uso uma desigualdade algébrica útil para o denominador: pela desigualdade aritmético-geométrica (AM-GM), para a\ge 0 e b\ge 0 vale a+b\ge 2\sqrt{ab}. Tomando a=x^{2} e b=z^{8} (ambos não-negativos), obtemos
x^{2}+z^{8} \ge 2\sqrt{x^{2}z^{8}} = 2|x|\,z^{4}.
Essa desigualdade é válida para todos os x,z. (Quando x=0 o lado direito é zero e a desigualdade continua verdadeira; quando z=0 o denominador é x^{2}, também OK.)
Passo 4
Combino as estimativas para dominar o valor absoluto de f. Para pontos na vizinhança escolhida (excluindo o próprio ponto (0,0,0), onde o denominador é zero e o limite é procurado), temos
Observação sobre casos especiais: se x=0 então o numerador é zero e o valor da função (quando bem definido) é 0, o que satisfaz a desigualdade 0\le \tfrac{M}{2}|y|. Portanto a estimativa
vale para todos os pontos próximos à origem (exceto o próprio ponto em que a função pode não estar definida), com uma constante fixa M.]
Passo 5
Como |y|\to 0 quando (x,y,z)\to(0,0,0), a cota anterior mostra que o módulo da função fica obrigatoriamente menor ou igual a \dfrac{M}{2}|y|, que tende a 0. Pelo Teorema do Confronto (squeeze), concluímos que o limite existe e é 0.