Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica e o intervalo do parâmetro:
-
, . -
.
Pede-se: encontrar a área da superfície obtida ao rodar essa curva em torno do eixo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A rotação é em torno do eixo
. - A função
é não negativa no intervalo dado (isso garante que a fórmula padrão se aplica sem problemas de sinal para o raio). - O parâmetro
varia de até .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada como se estivéssemos na prova):
- Para uma curva paramétrica
com , a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo é
Explicando essa fórmula:
-
é o raio do círculo gerado pela rotação em torno do eixo (distância do ponto da curva ao eixo ). -
é o comprimento do elemento de arco da curva (uma pequena variação de comprimento ao longo da curva). - Ao rotacionar esse pequeno segmento de reta em torno do eixo
, obtém-se uma “faixa” de superfície com área aproximada . Integrando essas áreas elementares ao longo de obtemos a área total.
Passo 3
Calcular as derivadas
e
:
Passo 4
Calcular a raiz quadrada do somatório dos quadrados das derivadas:
Agora simplificar
. Note que
, então
. Como
no intervalo dado,
. Portanto
Passo 5
Formar o integrando da fórmula:
vezes a raiz que calculamos.
Passo 6
Multiplicar por
e escrever a integral para a área:
Calcular a integral
:
Substituindo,
Simplificar os fatores:
então