Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x.
x=3 t^{2}, \quad y=2 t^{2}, \quad 0 \leq t \leq 5

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica e o intervalo do parâmetro:
  • \;x(t)=3t^{2}, \;y(t)=2t^{2}.
  • \;0\le t\le 5.
    Pede-se: encontrar a área da superfície obtida ao rodar essa curva em torno do eixo x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A rotação é em torno do eixo x.
  • A função \;y(t)=2t^{2} é não negativa no intervalo dado (isso garante que a fórmula padrão se aplica sem problemas de sinal para o raio).
  • O parâmetro t varia de \;0 até \;5.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada como se estivéssemos na prova):
  • Para uma curva paramétrica \;(x(t),y(t)) com a\le t\le b, a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x é
S = 2\pi \int_{a}^{b} y(t)\,\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}\;dt.
Explicando essa fórmula:
  • \;y(t) é o raio do círculo gerado pela rotação em torno do eixo x (distância do ponto da curva ao eixo x).
  • \;ds=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}\,dt é o comprimento do elemento de arco da curva (uma pequena variação de comprimento ao longo da curva).
  • Ao rotacionar esse pequeno segmento de reta em torno do eixo x, obtém-se uma “faixa” de superfície com área aproximada \;2\pi y\,ds. Integrando essas áreas elementares ao longo de t obtemos a área total.

Passo 3

Calcular as derivadas \;x'(t) e \;y'(t):
x'(t)=\frac{d}{dt}(3t^{2})=6t, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(2t^{2})=4t.

Passo 4

Calcular a raiz quadrada do somatório dos quadrados das derivadas:
\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} = \sqrt{(6t)^{2}+(4t)^{2}} = \sqrt{36t^{2}+16t^{2}} = \sqrt{52t^{2}}.
Agora simplificar \sqrt{52t^{2}}. Note que \;52=4\cdot13, então \sqrt{52}=2\sqrt{13}. Como t\ge0 no intervalo dado, \sqrt{t^{2}}=t. Portanto
\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}=2\sqrt{13}\;t.

Passo 5

Formar o integrando da fórmula: y(t) vezes a raiz que calculamos.
y(t)\,\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} = (2t^{2})\cdot(2\sqrt{13}\;t) = 4\sqrt{13}\;t^{3}.

Passo 6

Multiplicar por 2\pi e escrever a integral para a área:
S = 2\pi \int_{0}^{5} 4\sqrt{13}\;t^{3}\,dt = 8\pi\sqrt{13}\int_{0}^{5} t^{3}\,dt.
Calcular a integral \int_{0}^{5} t^{3}\,dt:
\int_{0}^{5} t^{3}\,dt=\left.\frac{t^{4}}{4}\right|_{0}^{5}=\frac{5^{4}}{4}=\frac{625}{4}.
Substituindo,
S = 8\pi\sqrt{13}\cdot\frac{625}{4}.
Simplificar os fatores:
8\cdot\frac{625}{4}=2\cdot625=1250,
então
S = 1250\pi\sqrt{13}.

Resposta

1250\pi\sqrt{13}

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